有限数学例

$\frac{3 x^{3} + 13 x - 4}{x^{3} + x^{2} - 2 x} = \frac{a}{x} + \frac{b}{x + 2} + \frac{c}{x - 1}$

ステップ 1

方程式を $\frac{a}{x} + \frac{b}{x + 2} + \frac{c}{x - 1} = \frac{3 x^{3} + 13 x - 4}{x^{3} + x^{2} - 2 x}$ として書き換えます。

$\frac{a}{x} + \frac{b}{x + 2} + \frac{c}{x - 1} = \frac{3 x^{3} + 13 x - 4}{x^{3} + x^{2} - 2 x}$

ステップ 2

変数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

方程式の両辺から $\frac{3 x^{3} + 13 x - 4}{x^{3} + x^{2} - 2 x}$ を引きます。

$\frac{a}{x} + \frac{b}{x + 2} + \frac{c}{x - 1} - \frac{3 x^{3} + 13 x - 4}{x^{3} + x^{2} - 2 x} = 0$

ステップ 2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$x$ を $x^{3} + x^{2} - 2 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

$x$ を $x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{a}{x} + \frac{b}{x + 2} + \frac{c}{x - 1} - \frac{3 x^{3} + 13 x - 4}{x \cdot x^{2} + x^{2} - 2 x} = 0$

ステップ 2.2.1.2

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{a}{x} + \frac{b}{x + 2} + \frac{c}{x - 1} - \frac{3 x^{3} + 13 x - 4}{x \cdot x^{2} + x \cdot x - 2 x} = 0$

ステップ 2.2.1.3

$x$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$\frac{a}{x} + \frac{b}{x + 2} + \frac{c}{x - 1} - \frac{3 x^{3} + 13 x - 4}{x \cdot x^{2} + x \cdot x + x \cdot - 2} = 0$

ステップ 2.2.1.4

$x$ を $x \cdot x^{2} + x \cdot x$ で因数分解します。

$\frac{a}{x} + \frac{b}{x + 2} + \frac{c}{x - 1} - \frac{3 x^{3} + 13 x - 4}{x (x^{2} + x) + x \cdot - 2} = 0$

ステップ 2.2.1.5

$x$ を $x (x^{2} + x) + x \cdot - 2$ で因数分解します。

$\frac{a}{x} + \frac{b}{x + 2} + \frac{c}{x - 1} - \frac{3 x^{3} + 13 x - 4}{x (x^{2} + x - 2)} = 0$

ステップ 2.2.2

たすき掛けを利用して $x^{2} + x - 2$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 2$ で、その和が $1$ です。

$- 1, 2$

ステップ 2.2.2.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$\frac{a}{x} + \frac{b}{x + 2} + \frac{c}{x - 1} - \frac{3 x^{3} + 13 x - 4}{x ((x - 1) (x + 2))} = 0$

$\frac{a}{x} + \frac{b}{x + 2} + \frac{c}{x - 1} - \frac{3 x^{3} + 13 x - 4}{x (x - 1) (x + 2)} = 0$

ステップ 2.3

$\frac{a}{x}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x + 2}{x + 2}$ を掛けます。

$\frac{a}{x} \cdot \frac{x + 2}{x + 2} + \frac{b}{x + 2} + \frac{c}{x - 1} - \frac{3 x^{3} + 13 x - 4}{x (x - 1) (x + 2)} = 0$

ステップ 2.4

$\frac{b}{x + 2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x}{x}$ を掛けます。

$\frac{a}{x} \cdot \frac{x + 2}{x + 2} + \frac{b}{x + 2} \cdot \frac{x}{x} + \frac{c}{x - 1} - \frac{3 x^{3} + 13 x - 4}{x (x - 1) (x + 2)} = 0$

ステップ 2.5

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $x (x + 2)$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

$\frac{a}{x}$ に $\frac{x + 2}{x + 2}$ をかけます。

$\frac{a (x + 2)}{x (x + 2)} + \frac{b}{x + 2} \cdot \frac{x}{x} + \frac{c}{x - 1} - \frac{3 x^{3} + 13 x - 4}{x (x - 1) (x + 2)} = 0$

ステップ 2.5.2

$\frac{b}{x + 2}$ に $\frac{x}{x}$ をかけます。

$\frac{a (x + 2)}{x (x + 2)} + \frac{b x}{(x + 2) x} + \frac{c}{x - 1} - \frac{3 x^{3} + 13 x - 4}{x (x - 1) (x + 2)} = 0$

ステップ 2.5.3

$(x + 2) x$ の因数を並べ替えます。

$\frac{a (x + 2)}{x (x + 2)} + \frac{b x}{x (x + 2)} + \frac{c}{x - 1} - \frac{3 x^{3} + 13 x - 4}{x (x - 1) (x + 2)} = 0$

ステップ 2.6

公分母の分子をまとめます。

$\frac{a (x + 2) + b x}{x (x + 2)} + \frac{c}{x - 1} - \frac{3 x^{3} + 13 x - 4}{x (x - 1) (x + 2)} = 0$

ステップ 2.7

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.1

分配則を当てはめます。

$\frac{a x + a \cdot 2 + b x}{x (x + 2)} + \frac{c}{x - 1} - \frac{3 x^{3} + 13 x - 4}{x (x - 1) (x + 2)} = 0$

ステップ 2.7.2

$2$ を $a$ の左に移動させます。

$\frac{a x + 2 a + b x}{x (x + 2)} + \frac{c}{x - 1} - \frac{3 x^{3} + 13 x - 4}{x (x - 1) (x + 2)} = 0$

ステップ 2.8

$\frac{a x + 2 a + b x}{x (x + 2)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x - 1}{x - 1}$ を掛けます。

$\frac{a x + 2 a + b x}{x (x + 2)} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} + \frac{c}{x - 1} - \frac{3 x^{3} + 13 x - 4}{x (x - 1) (x + 2)} = 0$

ステップ 2.9

$\frac{c}{x - 1}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x (x + 2)}{x (x + 2)}$ を掛けます。

$\frac{a x + 2 a + b x}{x (x + 2)} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} + \frac{c}{x - 1} \cdot \frac{x (x + 2)}{x (x + 2)} - \frac{3 x^{3} + 13 x - 4}{x (x - 1) (x + 2)} = 0$

ステップ 2.10

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $x (x + 2) (x - 1)$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.10.1

$\frac{a x + 2 a + b x}{x (x + 2)}$ に $\frac{x - 1}{x - 1}$ をかけます。

$\frac{(a x + 2 a + b x) (x - 1)}{x (x + 2) (x - 1)} + \frac{c}{x - 1} \cdot \frac{x (x + 2)}{x (x + 2)} - \frac{3 x^{3} + 13 x - 4}{x (x - 1) (x + 2)} = 0$

ステップ 2.10.2

$\frac{c}{x - 1}$ に $\frac{x (x + 2)}{x (x + 2)}$ をかけます。

$\frac{(a x + 2 a + b x) (x - 1)}{x (x + 2) (x - 1)} + \frac{c (x (x + 2))}{(x - 1) (x (x + 2))} - \frac{3 x^{3} + 13 x - 4}{x (x - 1) (x + 2)} = 0$

ステップ 2.10.3

$(x - 1) (x (x + 2))$ の因数を並べ替えます。

$\frac{(a x + 2 a + b x) (x - 1)}{x (x + 2) (x - 1)} + \frac{c (x (x + 2))}{x (x + 2) (x - 1)} - \frac{3 x^{3} + 13 x - 4}{x (x - 1) (x + 2)} = 0$

ステップ 2.11

公分母の分子をまとめます。

$\frac{(a x + 2 a + b x) (x - 1) + c (x (x + 2))}{x (x + 2) (x - 1)} - \frac{3 x^{3} + 13 x - 4}{x (x - 1) (x + 2)} = 0$

ステップ 2.12

公分母の分子をまとめます。

$\frac{(a x + 2 a + b x) (x - 1) + c (x (x + 2)) - (3 x^{3} + 13 x - 4)}{x (x + 2) (x - 1)} = 0$

ステップ 2.13

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.13.1

1番目の式の各項に2番目の式の各項を掛け、 $(a x + 2 a + b x) (x - 1)$ を展開します。

$\frac{a x \cdot x + a x \cdot - 1 + 2 a x + 2 a \cdot - 1 + b x \cdot x + b x \cdot - 1 + c (x (x + 2)) - (3 x^{3} + 13 x - 4)}{x (x + 2) (x - 1)} = 0$

ステップ 2.13.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.13.2.1

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.13.2.1.1

$x$ を移動させます。

$\frac{a (x \cdot x) + a x \cdot - 1 + 2 a x + 2 a \cdot - 1 + b x \cdot x + b x \cdot - 1 + c (x (x + 2)) - (3 x^{3} + 13 x - 4)}{x (x + 2) (x - 1)} = 0$

ステップ 2.13.2.1.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{a x^{2} + a x \cdot - 1 + 2 a x + 2 a \cdot - 1 + b x \cdot x + b x \cdot - 1 + c (x (x + 2)) - (3 x^{3} + 13 x - 4)}{x (x + 2) (x - 1)} = 0$

ステップ 2.13.2.2

$- 1$ を $a x$ の左に移動させます。

$\frac{a x^{2} - 1 \cdot (a x) + 2 a x + 2 a \cdot - 1 + b x \cdot x + b x \cdot - 1 + c (x (x + 2)) - (3 x^{3} + 13 x - 4)}{x (x + 2) (x - 1)} = 0$

ステップ 2.13.2.3

$- 1 (a x)$ を $- (a x)$ に書き換えます。

$\frac{a x^{2} - (a x) + 2 a x + 2 a \cdot - 1 + b x \cdot x + b x \cdot - 1 + c (x (x + 2)) - (3 x^{3} + 13 x - 4)}{x (x + 2) (x - 1)} = 0$

ステップ 2.13.2.4

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{a x^{2} - a x + 2 a x - 2 a + b x \cdot x + b x \cdot - 1 + c (x (x + 2)) - (3 x^{3} + 13 x - 4)}{x (x + 2) (x - 1)} = 0$

ステップ 2.13.2.5

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.13.2.5.1

$x$ を移動させます。

$\frac{a x^{2} - a x + 2 a x - 2 a + b (x \cdot x) + b x \cdot - 1 + c (x (x + 2)) - (3 x^{3} + 13 x - 4)}{x (x + 2) (x - 1)} = 0$

ステップ 2.13.2.5.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{a x^{2} - a x + 2 a x - 2 a + b x^{2} + b x \cdot - 1 + c (x (x + 2)) - (3 x^{3} + 13 x - 4)}{x (x + 2) (x - 1)} = 0$

ステップ 2.13.2.6

$- 1$ を $b x$ の左に移動させます。

$\frac{a x^{2} - a x + 2 a x - 2 a + b x^{2} - 1 \cdot (b x) + c (x (x + 2)) - (3 x^{3} + 13 x - 4)}{x (x + 2) (x - 1)} = 0$

ステップ 2.13.2.7

$- 1 (b x)$ を $- (b x)$ に書き換えます。

$\frac{a x^{2} - a x + 2 a x - 2 a + b x^{2} - b x + c (x (x + 2)) - (3 x^{3} + 13 x - 4)}{x (x + 2) (x - 1)} = 0$

ステップ 2.13.3

$- a x$ と $2 a x$ をたし算します。

$\frac{a x^{2} + 1 a x - 2 a + b x^{2} - b x + c (x (x + 2)) - (3 x^{3} + 13 x - 4)}{x (x + 2) (x - 1)} = 0$

ステップ 2.13.4

$a$ に $1$ をかけます。

$\frac{a x^{2} + a x - 2 a + b x^{2} - b x + c (x (x + 2)) - (3 x^{3} + 13 x - 4)}{x (x + 2) (x - 1)} = 0$

ステップ 2.13.5

分配則を当てはめます。

$\frac{a x^{2} + a x - 2 a + b x^{2} - b x + c (x \cdot x + x \cdot 2) - (3 x^{3} + 13 x - 4)}{x (x + 2) (x - 1)} = 0$

ステップ 2.13.6

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{a x^{2} + a x - 2 a + b x^{2} - b x + c (x^{2} + x \cdot 2) - (3 x^{3} + 13 x - 4)}{x (x + 2) (x - 1)} = 0$

ステップ 2.13.7

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{a x^{2} + a x - 2 a + b x^{2} - b x + c (x^{2} + 2 \cdot x) - (3 x^{3} + 13 x - 4)}{x (x + 2) (x - 1)} = 0$

ステップ 2.13.8

分配則を当てはめます。

$\frac{a x^{2} + a x - 2 a + b x^{2} - b x + c x^{2} + c (2 x) - (3 x^{3} + 13 x - 4)}{x (x + 2) (x - 1)} = 0$

ステップ 2.13.9

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{a x^{2} + a x - 2 a + b x^{2} - b x + c x^{2} + 2 c x - (3 x^{3} + 13 x - 4)}{x (x + 2) (x - 1)} = 0$

ステップ 2.13.10

分配則を当てはめます。

$\frac{a x^{2} + a x - 2 a + b x^{2} - b x + c x^{2} + 2 c x - (3 x^{3}) - (13 x) - - 4}{x (x + 2) (x - 1)} = 0$

ステップ 2.13.11

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.13.11.1

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{a x^{2} + a x - 2 a + b x^{2} - b x + c x^{2} + 2 c x - 3 x^{3} - (13 x) - - 4}{x (x + 2) (x - 1)} = 0$

ステップ 2.13.11.2

$13$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{a x^{2} + a x - 2 a + b x^{2} - b x + c x^{2} + 2 c x - 3 x^{3} - 13 x - - 4}{x (x + 2) (x - 1)} = 0$

ステップ 2.13.11.3

$- 1$ に $- 4$ をかけます。

$\frac{a x^{2} + a x - 2 a + b x^{2} - b x + c x^{2} + 2 c x - 3 x^{3} - 13 x + 4}{x (x + 2) (x - 1)} = 0$

ステップ 3

分子を0に等しくします。

$a x^{2} + a x - 2 a + b x^{2} - b x + c x^{2} + 2 c x - 3 x^{3} - 13 x + 4 = 0$

ステップ 4

$a$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$a$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

方程式の両辺から $b x^{2}$ を引きます。

$a x^{2} + a x - 2 a - b x + c x^{2} + 2 c x - 3 x^{3} - 13 x + 4 = - b x^{2}$

ステップ 4.1.2

方程式の両辺に $b x$ を足します。

$a x^{2} + a x - 2 a + c x^{2} + 2 c x - 3 x^{3} - 13 x + 4 = - b x^{2} + b x$

ステップ 4.1.3

方程式の両辺から $c x^{2}$ を引きます。

$a x^{2} + a x - 2 a + 2 c x - 3 x^{3} - 13 x + 4 = - b x^{2} + b x - c x^{2}$

ステップ 4.1.4

方程式の両辺から $2 c x$ を引きます。

$a x^{2} + a x - 2 a - 3 x^{3} - 13 x + 4 = - b x^{2} + b x - c x^{2} - 2 c x$

ステップ 4.1.5

方程式の両辺に $3 x^{3}$ を足します。

$a x^{2} + a x - 2 a - 13 x + 4 = - b x^{2} + b x - c x^{2} - 2 c x + 3 x^{3}$

ステップ 4.1.6

方程式の両辺に $13 x$ を足します。

$a x^{2} + a x - 2 a + 4 = - b x^{2} + b x - c x^{2} - 2 c x + 3 x^{3} + 13 x$

ステップ 4.1.7

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$a x^{2} + a x - 2 a = - b x^{2} + b x - c x^{2} - 2 c x + 3 x^{3} + 13 x - 4$

ステップ 4.2

$a$ を $a x^{2} + a x - 2 a$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$a$ を $a x^{2}$ で因数分解します。

$a (x^{2}) + a x - 2 a = - b x^{2} + b x - c x^{2} - 2 c x + 3 x^{3} + 13 x - 4$

ステップ 4.2.2

$a$ を $a x$ で因数分解します。

$a (x^{2}) + a (x) - 2 a = - b x^{2} + b x - c x^{2} - 2 c x + 3 x^{3} + 13 x - 4$

ステップ 4.2.3

$a$ を $- 2 a$ で因数分解します。

$a (x^{2}) + a (x) + a \cdot - 2 = - b x^{2} + b x - c x^{2} - 2 c x + 3 x^{3} + 13 x - 4$

ステップ 4.2.4

$a$ を $a (x^{2}) + a (x)$ で因数分解します。

$a (x^{2} + x) + a \cdot - 2 = - b x^{2} + b x - c x^{2} - 2 c x + 3 x^{3} + 13 x - 4$

ステップ 4.2.5

$a$ を $a (x^{2} + x) + a \cdot - 2$ で因数分解します。

$a (x^{2} + x - 2) = - b x^{2} + b x - c x^{2} - 2 c x + 3 x^{3} + 13 x - 4$

ステップ 4.3

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

たすき掛けを利用して $x^{2} + x - 2$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 2$ で、その和が $1$ です。

$- 1, 2$

ステップ 4.3.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$a ((x - 1) (x + 2)) = - b x^{2} + b x - c x^{2} - 2 c x + 3 x^{3} + 13 x - 4$

ステップ 4.3.2

不要な括弧を削除します。

$a (x - 1) (x + 2) = - b x^{2} + b x - c x^{2} - 2 c x + 3 x^{3} + 13 x - 4$

ステップ 4.4

$a (x - 1) (x + 2) = - b x^{2} + b x - c x^{2} - 2 c x + 3 x^{3} + 13 x - 4$ の各項を $(x - 1) (x + 2)$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1

$a (x - 1) (x + 2) = - b x^{2} + b x - c x^{2} - 2 c x + 3 x^{3} + 13 x - 4$ の各項を $(x - 1) (x + 2)$ で割ります。

$\frac{a (x - 1) (x + 2)}{(x - 1) (x + 2)} = \frac{- b x^{2}}{(x - 1) (x + 2)} + \frac{b x}{(x - 1) (x + 2)} + \frac{- c x^{2}}{(x - 1) (x + 2)} + \frac{- 2 c x}{(x - 1) (x + 2)} + \frac{3 x^{3}}{(x - 1) (x + 2)} + \frac{13 x}{(x - 1) (x + 2)} + \frac{- 4}{(x - 1) (x + 2)}$

ステップ 4.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.2.1

$x - 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.2.1.1

共通因数を約分します。

ステップ 4.4.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{a (x + 2)}{x + 2} = \frac{- b x^{2}}{(x - 1) (x + 2)} + \frac{b x}{(x - 1) (x + 2)} + \frac{- c x^{2}}{(x - 1) (x + 2)} + \frac{- 2 c x}{(x - 1) (x + 2)} + \frac{3 x^{3}}{(x - 1) (x + 2)} + \frac{13 x}{(x - 1) (x + 2)} + \frac{- 4}{(x - 1) (x + 2)}$

ステップ 4.4.2.2

$x + 2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.2.2.1

共通因数を約分します。

ステップ 4.4.2.2.2

$a$ を $1$ で割ります。

$a = \frac{- b x^{2}}{(x - 1) (x + 2)} + \frac{b x}{(x - 1) (x + 2)} + \frac{- c x^{2}}{(x - 1) (x + 2)} + \frac{- 2 c x}{(x - 1) (x + 2)} + \frac{3 x^{3}}{(x - 1) (x + 2)} + \frac{13 x}{(x - 1) (x + 2)} + \frac{- 4}{(x - 1) (x + 2)}$

ステップ 4.4.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.3.1.1

分数の前に負数を移動させます。

$a = - \frac{b x^{2}}{(x - 1) (x + 2)} + \frac{b x}{(x - 1) (x + 2)} + \frac{- c x^{2}}{(x - 1) (x + 2)} + \frac{- 2 c x}{(x - 1) (x + 2)} + \frac{3 x^{3}}{(x - 1) (x + 2)} + \frac{13 x}{(x - 1) (x + 2)} + \frac{- 4}{(x - 1) (x + 2)}$

ステップ 4.4.3.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$a = - \frac{b x^{2}}{(x - 1) (x + 2)} + \frac{b x}{(x - 1) (x + 2)} - \frac{c x^{2}}{(x - 1) (x + 2)} + \frac{- 2 c x}{(x - 1) (x + 2)} + \frac{3 x^{3}}{(x - 1) (x + 2)} + \frac{13 x}{(x - 1) (x + 2)} + \frac{- 4}{(x - 1) (x + 2)}$

ステップ 4.4.3.1.3

分数の前に負数を移動させます。

$a = - \frac{b x^{2}}{(x - 1) (x + 2)} + \frac{b x}{(x - 1) (x + 2)} - \frac{c x^{2}}{(x - 1) (x + 2)} - \frac{2 c x}{(x - 1) (x + 2)} + \frac{3 x^{3}}{(x - 1) (x + 2)} + \frac{13 x}{(x - 1) (x + 2)} + \frac{- 4}{(x - 1) (x + 2)}$

ステップ 4.4.3.1.4

分数の前に負数を移動させます。

$a = - \frac{b x^{2}}{(x - 1) (x + 2)} + \frac{b x}{(x - 1) (x + 2)} - \frac{c x^{2}}{(x - 1) (x + 2)} - \frac{2 c x}{(x - 1) (x + 2)} + \frac{3 x^{3}}{(x - 1) (x + 2)} + \frac{13 x}{(x - 1) (x + 2)} - \frac{4}{(x - 1) (x + 2)}$

有限数学 例

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