有限数学例

$\frac{1}{4} \cdot {| x^{3} + 1 |}^{2} = | x^{3} + 1 | - 1$

ステップ 1

$\frac{1}{4} {| x^{3} + 1 |}^{2}$ を簡約します。

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ステップ 1.1

書き換えます。

$0 + 0 + \frac{1}{4} {| x^{3} + 1 |}^{2} = | x^{3} + 1 | - 1$

ステップ 1.2

0を加えて簡約します。

$\frac{1}{4} {| x^{3} + 1 |}^{2} = | x^{3} + 1 | - 1$

ステップ 1.3

$\frac{1}{4}$ と ${| x^{3} + 1 |}^{2}$ をまとめます。

$\frac{{| x^{3} + 1 |}^{2}}{4} = | x^{3} + 1 | - 1$

ステップ 2

方程式の両辺から $| x^{3} + 1 |$ を引きます。

$\frac{{| x^{3} + 1 |}^{2}}{4} - | x^{3} + 1 | = - 1$

ステップ 3

$\frac{{| x^{3} + 1 |}^{2}}{4} - | x^{3} + 1 | = - 1$ の各項に $4$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 3.1

$\frac{{| x^{3} + 1 |}^{2}}{4} - | x^{3} + 1 | = - 1$ の各項に $4$ を掛けます。

$\frac{{| x^{3} + 1 |}^{2}}{4} \cdot 4 - | x^{3} + 1 | \cdot 4 = - 1 \cdot 4$

ステップ 3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{{| x^{3} + 1 |}^{2}}{4} \cdot 4 - | x^{3} + 1 | \cdot 4 = - 1 \cdot 4$

ステップ 3.2.1.1.2

式を書き換えます。

${| x^{3} + 1 |}^{2} - | x^{3} + 1 | \cdot 4 = - 1 \cdot 4$

ステップ 3.2.1.2

$4$ に $- 1$ をかけます。

${| x^{3} + 1 |}^{2} - 4 | x^{3} + 1 | = - 1 \cdot 4$

ステップ 3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.3.1

$- 1$ に $4$ をかけます。

${| x^{3} + 1 |}^{2} - 4 | x^{3} + 1 | = - 4$

ステップ 4

方程式の両辺に $4$ を足します。

${| x^{3} + 1 |}^{2} - 4 | x^{3} + 1 | + 4 = 0$

ステップ 5

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 5.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

${| x^{3} + 1 |}^{2} - 4 | x^{3} + 1 | + 2^{2} = 0$

ステップ 5.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$4 | x^{3} + 1 | = 2 \cdot | x^{3} + 1 | \cdot 2$

ステップ 5.3

多項式を書き換えます。

${| x^{3} + 1 |}^{2} - 2 \cdot | x^{3} + 1 | \cdot 2 + 2^{2} = 0$

ステップ 5.4

$a = | x^{3} + 1 |$ と $b = 2$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

${(| x^{3} + 1 | - 2)}^{2} = 0$

ステップ 6

$| x^{3} + 1 | - 2$ が $0$ に等しいとします。

$| x^{3} + 1 | - 2 = 0$

ステップ 7

方程式の両辺に $2$ を足します。

$| x^{3} + 1 | = 2$

ステップ 8

絶対値の項を削除します。これにより、 $| x | = \pm x$ なので方程式の右辺に $\pm$ ができます。

$x^{3} + 1 = \pm 2$

ステップ 9

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 9.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x^{3} + 1 = 2$

ステップ 9.2

$x$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 9.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x^{3} = 2 - 1$

ステップ 9.2.2

$2$ から $1$ を引きます。

$x^{3} = 1$

ステップ 9.3

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x^{3} - 1 = 0$

ステップ 9.4

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 9.4.1

$1$ を $1^{3}$ に書き換えます。

$x^{3} - 1^{3} = 0$

ステップ 9.4.2

両項とも完全立方なので、立方の差の公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 1$ です。

$(x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

ステップ 9.4.3

簡約します。

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ステップ 9.4.3.1

$x$ に $1$ をかけます。

$(x - 1) (x^{2} + x + 1^{2}) = 0$

ステップ 9.4.3.2

1のすべての数の累乗は1です。

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) = 0$

ステップ 9.5

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 1 = 0$

$x^{2} + x + 1 = 0$

ステップ 9.6

$x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 9.6.1

$x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x - 1 = 0$

ステップ 9.6.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 9.7

$x^{2} + x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 9.7.1

$x^{2} + x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} + x + 1 = 0$

ステップ 9.7.2

$x$ について $x^{2} + x + 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 9.7.2.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 9.7.2.2

$a = 1$ 、 $b = 1$ 、および $c = 1$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 9.7.2.3

簡約します。

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ステップ 9.7.2.3.1

分子を簡約します。

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ステップ 9.7.2.3.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 9.7.2.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 1$ を掛けます。

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ステップ 9.7.2.3.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 9.7.2.3.1.2.2

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 9.7.2.3.1.3

$1$ から $4$ を引きます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 9.7.2.3.1.4

$- 3$ を $- 1 (3)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 9.7.2.3.1.5

$\sqrt{- 1 (3)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 9.7.2.3.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 9.7.2.3.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 9.7.2.4

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 9.8

最終解は $(x - 1) (x^{2} + x + 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 1, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 9.9

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x^{3} + 1 = - 2$

ステップ 9.10

$x$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 9.10.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x^{3} = - 2 - 1$

ステップ 9.10.2

$- 2$ から $1$ を引きます。

$x^{3} = - 3$

ステップ 9.11

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{- 3}$

ステップ 9.12

$\sqrt[3]{- 3}$ を簡約します。

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ステップ 9.12.1

$- 3$ を ${(- 1)}^{3} \cdot 3$ に書き換えます。

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ステップ 9.12.1.1

$- 3$ を $- 1 (3)$ に書き換えます。

$x = \sqrt[3]{- 1 (3)}$

ステップ 9.12.1.2

$- 1$ を ${(- 1)}^{3}$ に書き換えます。

$x = \sqrt[3]{{(- 1)}^{3} \cdot 3}$

ステップ 9.12.2

累乗根の下から項を取り出します。

$x = - 1 \sqrt[3]{3}$

ステップ 9.12.3

$- 1 \sqrt[3]{3}$ を $- \sqrt[3]{3}$ に書き換えます。

$x = - \sqrt[3]{3}$

ステップ 9.13

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 1, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, - \sqrt[3]{3}$

ステップ 10

有限数学 例

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