有限数学例

$- 2 x^{3} + x^{2} + 13 x + 6 = 0$

ステップ 1

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 1.1

有理根検定を用いて $- 2 x^{3} + x^{2} + 13 x + 6$ を因数分解します。

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ステップ 1.1.1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 2$

ステップ 1.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 6, \pm 3, \pm 2, \pm 1.5$

ステップ 1.1.3

$- 0.5$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しいので、 $- 0.5$ は多項式の根です。

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ステップ 1.1.3.1

$- 0.5$ を多項式に代入します。

$- 2 {(- 0.5)}^{3} + {(- 0.5)}^{2} + 13 \cdot - 0.5 + 6$

ステップ 1.1.3.2

$- 0.5$ を $3$ 乗します。

$- 2 \cdot - 0.125 + {(- 0.5)}^{2} + 13 \cdot - 0.5 + 6$

ステップ 1.1.3.3

$- 2$ に $- 0.125$ をかけます。

$0.25 + {(- 0.5)}^{2} + 13 \cdot - 0.5 + 6$

ステップ 1.1.3.4

$- 0.5$ を $2$ 乗します。

$0.25 + 0.25 + 13 \cdot - 0.5 + 6$

ステップ 1.1.3.5

$0.25$ と $0.25$ をたし算します。

$0.5 + 13 \cdot - 0.5 + 6$

ステップ 1.1.3.6

$13$ に $- 0.5$ をかけます。

$0.5 - 6.5 + 6$

ステップ 1.1.3.7

$0.5$ から $6.5$ を引きます。

$- 6 + 6$

ステップ 1.1.3.8

$- 6$ と $6$ をたし算します。

$0$

ステップ 1.1.4

$- 0.5$ は既知の根なので、多項式を $2 x + 1$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{- 2 x^{3} + x^{2} + 13 x + 6}{2 x + 1}$

ステップ 1.1.5

$- 2 x^{3} + x^{2} + 13 x + 6$ を $2 x + 1$ で割ります。

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ステップ 1.1.5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$2 x$

$1$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$13 x$

$6$

ステップ 1.1.5.2

被除数 $- 2 x^{3}$ の最高次項を除数 $2 x$ の最高次項で割ります。

				-	$x^{2}$
	$2 x$	+	$1$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$13 x$	+	$6$

ステップ 1.1.5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

			-	$x^{2}$
$2 x$	+	$1$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$13 x$	+	$6$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$

ステップ 1.1.5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $- 2 x^{3} - x^{2}$ の符号をすべて変更します。

			-	$x^{2}$
$2 x$	+	$1$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$13 x$	+	$6$
			+	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$

ステップ 1.1.5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

			-	$x^{2}$
$2 x$	+	$1$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$13 x$	+	$6$
			+	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$

ステップ 1.1.5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

			-	$x^{2}$
$2 x$	+	$1$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$13 x$	+	$6$
			+	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$13 x$

ステップ 1.1.5.7

被除数 $2 x^{2}$ の最高次項を除数 $2 x$ の最高次項で割ります。

			-	$x^{2}$	+	$x$
$2 x$	+	$1$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$13 x$	+	$6$
			+	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$13 x$

ステップ 1.1.5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

			-	$x^{2}$	+	$x$
$2 x$	+	$1$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$13 x$	+	$6$
			+	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$13 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$x$

ステップ 1.1.5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $2 x^{2} + x$ の符号をすべて変更します。

			-	$x^{2}$	+	$x$
$2 x$	+	$1$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$13 x$	+	$6$
			+	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$x$

ステップ 1.1.5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

			-	$x^{2}$	+	$x$
$2 x$	+	$1$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$13 x$	+	$6$
			+	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$x$
							+	$12 x$

ステップ 1.1.5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

			-	$x^{2}$	+	$x$
$2 x$	+	$1$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$13 x$	+	$6$
			+	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$x$
							+	$12 x$	+	$6$

ステップ 1.1.5.12

被除数 $12 x$ の最高次項を除数 $2 x$ の最高次項で割ります。

			-	$x^{2}$	+	$x$	+	$6$
$2 x$	+	$1$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$13 x$	+	$6$
			+	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$x$
							+	$12 x$	+	$6$

ステップ 1.1.5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

			-	$x^{2}$	+	$x$	+	$6$
$2 x$	+	$1$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$13 x$	+	$6$
			+	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$x$
							+	$12 x$	+	$6$
							+	$12 x$	+	$6$

ステップ 1.1.5.14

式は被除数から引く必要があるので、 $12 x + 6$ の符号をすべて変更します。

			-	$x^{2}$	+	$x$	+	$6$
$2 x$	+	$1$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$13 x$	+	$6$
			+	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$x$
							+	$12 x$	+	$6$
							-	$12 x$	-	$6$

ステップ 1.1.5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

			-	$x^{2}$	+	$x$	+	$6$
$2 x$	+	$1$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$13 x$	+	$6$
			+	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$x$
							+	$12 x$	+	$6$
							-	$12 x$	-	$6$
										$0$

ステップ 1.1.5.16

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$- x^{2} + x + 6$

ステップ 1.1.6

$- 2 x^{3} + x^{2} + 13 x + 6$ を因数の集合として書き換えます。

$(2 x + 1) (- x^{2} + x + 6) = 0$

ステップ 1.2

群による因数分解。

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ステップ 1.2.1

群による因数分解。

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ステップ 1.2.1.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = - 1 \cdot 6 = - 6$ で和が $b = 1$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 1.2.1.1.1

$1$ を掛けます。

$(2 x + 1) (- x^{2} + 1 x + 6) = 0$

ステップ 1.2.1.1.2

$1$ を $- 2$ プラス $3$ に書き換える

$(2 x + 1) (- x^{2} + (- 2 + 3) x + 6) = 0$

ステップ 1.2.1.1.3

分配則を当てはめます。

$(2 x + 1) (- x^{2} - 2 x + 3 x + 6) = 0$

ステップ 1.2.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 1.2.1.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(2 x + 1) ((- x^{2} - 2 x) + 3 x + 6) = 0$

ステップ 1.2.1.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$(2 x + 1) (x (- x - 2) - 3 (- x - 2)) = 0$

ステップ 1.2.1.3

最大公約数 $- x - 2$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(2 x + 1) ((- x - 2) (x - 3)) = 0$

ステップ 1.2.2

不要な括弧を削除します。

$(2 x + 1) (- x - 2) (x - 3) = 0$

ステップ 2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$2 x + 1 = 0$

$- x - 2 = 0$

$x - 3 = 0$

ステップ 3

$2 x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.1

$2 x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$2 x + 1 = 0$

ステップ 3.2

$x$ について $2 x + 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 3.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$2 x = - 1$

ステップ 3.2.2

$2 x = - 1$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$2 x = - 1$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

ステップ 3.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

ステップ 3.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 1}{2}$

ステップ 3.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{1}{2}$

ステップ 4

$- x - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.1

$- x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$- x - 2 = 0$

ステップ 4.2

$x$ について $- x - 2 = 0$ を解きます。

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ステップ 4.2.1

方程式の両辺に $2$ を足します。

$- x = 2$

ステップ 4.2.2

$- x = 2$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

$- x = 2$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- x}{- 1} = \frac{2}{- 1}$

ステップ 4.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.2.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x}{1} = \frac{2}{- 1}$

ステップ 4.2.2.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{2}{- 1}$

ステップ 4.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.2.2.3.1

$2$ を $- 1$ で割ります。

$x = - 2$

ステップ 5

$x - 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 5.1

$x - 3$ が $0$ に等しいとします。

$x - 3 = 0$

ステップ 5.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x = 3$

ステップ 6

最終解は $(2 x + 1) (- x - 2) (x - 3) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - \frac{1}{2}, - 2, 3$

ステップ 7

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$x = - \frac{1}{2}, - 2, 3$

10進法形式：

$x = - 0.5, - 2, 3$

有限数学 例

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