有限数学例

2 e^{2 x} - 5 e^{x} + 4 = 0

$2 e^{2 x} - 5 e^{x} + 4 = 0$

ステップ 1

e^{2 x}

$e^{2 x}$ を累乗法として書き換えます。

2 {(e^{x})}^{2} - 5 e^{x} + 4 = 0

$2 {(e^{x})}^{2} - 5 e^{x} + 4 = 0$

ステップ 2

u

$u$ を

e^{x}

$e^{x}$ に代入します。

2 u^{2} - 5 u + 4 = 0

$2 u^{2} - 5 u + 4 = 0$

ステップ 3

u

$u$ について解きます。

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ステップ 3.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 3.2

a = 2

$a = 2$ 、

b = - 5

$b = - 5$ 、および

c = 4

$c = 4$ を二次方程式の解の公式に代入し、

u

$u$ の値を求めます。

\frac{5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 4)}}{2 \cdot 2}

$\frac{5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 4)}}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.3

簡約します。

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ステップ 3.3.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.1

- 5

$- 5$ を

2

$2$ 乗します。

u = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 2 \cdot 4}}{2 \cdot 2}

$u = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 2 \cdot 4}}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.3.1.2

- 4 \cdot 2 \cdot 4

$- 4 \cdot 2 \cdot 4$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.2.1

- 4

$- 4$ に

2

$2$ をかけます。

u = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 8 \cdot 4}}{2 \cdot 2}

$u = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 8 \cdot 4}}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.3.1.2.2

- 8

$- 8$ に

4

$4$ をかけます。

u = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 32}}{2 \cdot 2}

$u = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 32}}{2 \cdot 2}$

u = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 32}}{2 \cdot 2}

$u = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 32}}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.3.1.3

25

$25$ から

32

$32$ を引きます。

u = \frac{5 \pm \sqrt{- 7}}{2 \cdot 2}

$u = \frac{5 \pm \sqrt{- 7}}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.3.1.4

- 7

$- 7$ を

- 1 (7)

$- 1 (7)$ に書き換えます。

u = \frac{5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 7}}{2 \cdot 2}

$u = \frac{5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 7}}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.3.1.5

\sqrt{- 1 (7)}

$\sqrt{- 1 (7)}$ を

\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}

$\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$ に書き換えます。

u = \frac{5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}}{2 \cdot 2}

$u = \frac{5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.3.1.6

\sqrt{- 1}

$\sqrt{- 1}$ を

i

$i$ に書き換えます。

u = \frac{5 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot 2}

$u = \frac{5 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot 2}$

u = \frac{5 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot 2}

$u = \frac{5 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.3.2

2

$2$ に

2

$2$ をかけます。

u = \frac{5 \pm i \sqrt{7}}{4}

$u = \frac{5 \pm i \sqrt{7}}{4}$

u = \frac{5 \pm i \sqrt{7}}{4}

$u = \frac{5 \pm i \sqrt{7}}{4}$

ステップ 3.4

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

u = \frac{5 + i \sqrt{7}}{4}, \frac{5 - i \sqrt{7}}{4}

$u = \frac{5 + i \sqrt{7}}{4}, \frac{5 - i \sqrt{7}}{4}$

u = \frac{5 + i \sqrt{7}}{4}, \frac{5 - i \sqrt{7}}{4}

$u = \frac{5 + i \sqrt{7}}{4}, \frac{5 - i \sqrt{7}}{4}$

ステップ 4

\frac{5 + i \sqrt{7}}{4}

$\frac{5 + i \sqrt{7}}{4}$ を

u = e^{x}

$u = e^{x}$ の中の

u

$u$ に代入します。

\frac{5 + i \sqrt{7}}{4} = e^{x}

$\frac{5 + i \sqrt{7}}{4} = e^{x}$

ステップ 5

\frac{5 + i \sqrt{7}}{4} = e^{x}

$\frac{5 + i \sqrt{7}}{4} = e^{x}$ を解きます。

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ステップ 5.1

方程式を

e^{x} = \frac{5 + i \sqrt{7}}{4}

$e^{x} = \frac{5 + i \sqrt{7}}{4}$ として書き換えます。

e^{x} = \frac{5 + i \sqrt{7}}{4}

$e^{x} = \frac{5 + i \sqrt{7}}{4}$

ステップ 5.2

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

ln (e^{x}) = ln (\frac{5 + i \sqrt{7}}{4})

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{5 + i \sqrt{7}}{4})$

ステップ 5.3

左辺を展開します。

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ステップ 5.3.1

x

$x$ を対数の外に移動させて、

ln (e^{x})

$\ln (e^{x})$ を展開します。

x ln (e) = ln (\frac{5 + i \sqrt{7}}{4})

$x \ln (e) = \ln (\frac{5 + i \sqrt{7}}{4})$

ステップ 5.3.2

e

$e$ の自然対数は

1

$1$ です。

x \cdot 1 = ln (\frac{5 + i \sqrt{7}}{4})

$x \cdot 1 = \ln (\frac{5 + i \sqrt{7}}{4})$

ステップ 5.3.3

x

$x$ に

1

$1$ をかけます。

x = ln (\frac{5 + i \sqrt{7}}{4})

$x = \ln (\frac{5 + i \sqrt{7}}{4})$

x = ln (\frac{5 + i \sqrt{7}}{4})

$x = \ln (\frac{5 + i \sqrt{7}}{4})$

ステップ 5.4

右辺を展開します。

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ステップ 5.4.1

ln (\frac{5 + i \sqrt{7}}{4})

$\ln (\frac{5 + i \sqrt{7}}{4})$ を

ln (5 + i \sqrt{7}) - ln (4)

$\ln (5 + i \sqrt{7}) - \ln (4)$ に書き換えます。

x = ln (5 + i \sqrt{7}) - ln (4)

$x = \ln (5 + i \sqrt{7}) - \ln (4)$

ステップ 5.4.2

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、

\sqrt{7}

$\sqrt{7}$ を

7^{\frac{1}{2}}

$7^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

x = ln (5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - ln (4)

$x = \ln (5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (4)$

ステップ 5.4.3

ln (4)

$\ln (4)$ を

ln (2^{2})

$\ln (2^{2})$ に書き換えます。

x = ln (5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - ln (2^{2})

$x = \ln (5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (2^{2})$

ステップ 5.4.4

2

$2$ を対数の外に移動させて、

ln (2^{2})

$\ln (2^{2})$ を展開します。

x = ln (5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - (2 ln (2))

$x = \ln (5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - (2 \ln (2))$

ステップ 5.4.5

2

$2$ に

- 1

$- 1$ をかけます。

x = ln (5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - 2 ln (2)

$x = \ln (5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - 2 \ln (2)$

x = ln (5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - 2 ln (2)

$x = \ln (5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - 2 \ln (2)$

ステップ 5.5

簡約します。

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ステップ 5.5.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.5.1.1

対数の中の

2

$2$ を移動させて

- 2 ln (2)

$- 2 \ln (2)$ を簡約します。

x = ln (5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - ln (2^{2})

$x = \ln (5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (2^{2})$

ステップ 5.5.1.2

2

$2$ を

2

$2$ 乗します。

x = ln (5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - ln (4)

$x = \ln (5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (4)$

x = ln (5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - ln (4)

$x = \ln (5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (4)$

ステップ 5.5.2

対数の商の性質を使います、

{log}_{b} (x) - {log}_{b} (y) = {log}_{b} (\frac{x}{y})

$\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

x = ln (\frac{5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}}{4})

$x = \ln (\frac{5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}}{4})$

x = ln (\frac{5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}}{4})

$x = \ln (\frac{5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}}{4})$

x = ln (\frac{5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}}{4})

$x = \ln (\frac{5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}}{4})$

ステップ 6

\frac{5 - i \sqrt{7}}{4}

$\frac{5 - i \sqrt{7}}{4}$ を

u = e^{x}

$u = e^{x}$ の中の

u

$u$ に代入します。

\frac{5 - i \sqrt{7}}{4} = e^{x}

$\frac{5 - i \sqrt{7}}{4} = e^{x}$

ステップ 7

\frac{5 - i \sqrt{7}}{4} = e^{x}

$\frac{5 - i \sqrt{7}}{4} = e^{x}$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

方程式を

e^{x} = \frac{5 - i \sqrt{7}}{4}

$e^{x} = \frac{5 - i \sqrt{7}}{4}$ として書き換えます。

e^{x} = \frac{5 - i \sqrt{7}}{4}

$e^{x} = \frac{5 - i \sqrt{7}}{4}$

ステップ 7.2

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

ln (e^{x}) = ln (\frac{5 - i \sqrt{7}}{4})

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{5 - i \sqrt{7}}{4})$

ステップ 7.3

左辺を展開します。

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ステップ 7.3.1

x

$x$ を対数の外に移動させて、

ln (e^{x})

$\ln (e^{x})$ を展開します。

x ln (e) = ln (\frac{5 - i \sqrt{7}}{4})

$x \ln (e) = \ln (\frac{5 - i \sqrt{7}}{4})$

ステップ 7.3.2

e

$e$ の自然対数は

1

$1$ です。

x \cdot 1 = ln (\frac{5 - i \sqrt{7}}{4})

$x \cdot 1 = \ln (\frac{5 - i \sqrt{7}}{4})$

ステップ 7.3.3

x

$x$ に

1

$1$ をかけます。

x = ln (\frac{5 - i \sqrt{7}}{4})

$x = \ln (\frac{5 - i \sqrt{7}}{4})$

x = ln (\frac{5 - i \sqrt{7}}{4})

$x = \ln (\frac{5 - i \sqrt{7}}{4})$

ステップ 7.4

右辺を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.1

ln (\frac{5 - i \sqrt{7}}{4})

$\ln (\frac{5 - i \sqrt{7}}{4})$ を

ln (5 - i \sqrt{7}) - ln (4)

$\ln (5 - i \sqrt{7}) - \ln (4)$ に書き換えます。

x = ln (5 - i \sqrt{7}) - ln (4)

$x = \ln (5 - i \sqrt{7}) - \ln (4)$

ステップ 7.4.2

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、

\sqrt{7}

$\sqrt{7}$ を

7^{\frac{1}{2}}

$7^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

x = ln (5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - ln (4)

$x = \ln (5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (4)$

ステップ 7.4.3

ln (4)

$\ln (4)$ を

ln (2^{2})

$\ln (2^{2})$ に書き換えます。

x = ln (5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - ln (2^{2})

$x = \ln (5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (2^{2})$

ステップ 7.4.4

$2$ を対数の外に移動させて、

$\ln (2^{2})$ を展開します。

$x = \ln (5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - (2 \ln (2))$

ステップ 7.4.5

$2$ に

$- 1$ をかけます。

$x = \ln (5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - 2 \ln (2)$

ステップ 7.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.5.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.5.1.1

対数の中の

$2$ を移動させて

$- 2 \ln (2)$ を簡約します。

$x = \ln (5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (2^{2})$

ステップ 7.5.1.2

$2$ を

$2$ 乗します。

$x = \ln (5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (4)$

ステップ 7.5.2

対数の商の性質を使います、

$\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$x = \ln (\frac{5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}}{4})$

ステップ 8

方程式が真になるような解をリストします。

$x = \ln (\frac{5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}}{4}), \ln (\frac{5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}}{4})$

有限数学 例

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