有限数学例

$2 e^{2 x} - 5 e^{x} + 4 = 0$

ステップ 1

$e^{2 x}$ を累乗法として書き換えます。

$2 {(e^{x})}^{2} - 5 e^{x} + 4 = 0$

ステップ 2

$u$ を $e^{x}$ に代入します。

$2 u^{2} - 5 u + 4 = 0$

ステップ 3

$u$ について解きます。

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ステップ 3.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 3.2

$a = 2$ 、 $b = - 5$ 、および $c = 4$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $u$ の値を求めます。

$\frac{5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 4)}}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.3

簡約します。

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ステップ 3.3.1

分子を簡約します。

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ステップ 3.3.1.1

$- 5$ を $2$ 乗します。

$u = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 2 \cdot 4}}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.3.1.2

$- 4 \cdot 2 \cdot 4$ を掛けます。

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ステップ 3.3.1.2.1

$- 4$ に $2$ をかけます。

$u = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 8 \cdot 4}}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.3.1.2.2

$- 8$ に $4$ をかけます。

$u = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 32}}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.3.1.3

$25$ から $32$ を引きます。

$u = \frac{5 \pm \sqrt{- 7}}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.3.1.4

$- 7$ を $- 1 (7)$ に書き換えます。

$u = \frac{5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 7}}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.3.1.5

$\sqrt{- 1 (7)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$ に書き換えます。

$u = \frac{5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.3.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$u = \frac{5 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.3.2

$2$ に $2$ をかけます。

$u = \frac{5 \pm i \sqrt{7}}{4}$

ステップ 3.4

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$u = \frac{5 + i \sqrt{7}}{4}, \frac{5 - i \sqrt{7}}{4}$

ステップ 4

$\frac{5 + i \sqrt{7}}{4}$ を $u = e^{x}$ の中の $u$ に代入します。

$\frac{5 + i \sqrt{7}}{4} = e^{x}$

ステップ 5

$\frac{5 + i \sqrt{7}}{4} = e^{x}$ を解きます。

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ステップ 5.1

方程式を $e^{x} = \frac{5 + i \sqrt{7}}{4}$ として書き換えます。

$e^{x} = \frac{5 + i \sqrt{7}}{4}$

ステップ 5.2

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{5 + i \sqrt{7}}{4})$

ステップ 5.3

左辺を展開します。

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ステップ 5.3.1

$x$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{x})$ を展開します。

$x \ln (e) = \ln (\frac{5 + i \sqrt{7}}{4})$

ステップ 5.3.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$x \cdot 1 = \ln (\frac{5 + i \sqrt{7}}{4})$

ステップ 5.3.3

$x$ に $1$ をかけます。

$x = \ln (\frac{5 + i \sqrt{7}}{4})$

ステップ 5.4

右辺を展開します。

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ステップ 5.4.1

$\ln (\frac{5 + i \sqrt{7}}{4})$ を $\ln (5 + i \sqrt{7}) - \ln (4)$ に書き換えます。

$x = \ln (5 + i \sqrt{7}) - \ln (4)$

ステップ 5.4.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{7}$ を $7^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$x = \ln (5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (4)$

ステップ 5.4.3

$\ln (4)$ を $\ln (2^{2})$ に書き換えます。

$x = \ln (5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (2^{2})$

ステップ 5.4.4

$2$ を対数の外に移動させて、 $\ln (2^{2})$ を展開します。

$x = \ln (5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - (2 \ln (2))$

ステップ 5.4.5

$2$ に $- 1$ をかけます。

$x = \ln (5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - 2 \ln (2)$

ステップ 5.5

簡約します。

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ステップ 5.5.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.5.1.1

対数の中の $2$ を移動させて $- 2 \ln (2)$ を簡約します。

$x = \ln (5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (2^{2})$

ステップ 5.5.1.2

$2$ を $2$ 乗します。

$x = \ln (5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (4)$

ステップ 5.5.2

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$x = \ln (\frac{5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}}{4})$

ステップ 6

$\frac{5 - i \sqrt{7}}{4}$ を $u = e^{x}$ の中の $u$ に代入します。

$\frac{5 - i \sqrt{7}}{4} = e^{x}$

ステップ 7

$\frac{5 - i \sqrt{7}}{4} = e^{x}$ を解きます。

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ステップ 7.1

方程式を $e^{x} = \frac{5 - i \sqrt{7}}{4}$ として書き換えます。

$e^{x} = \frac{5 - i \sqrt{7}}{4}$

ステップ 7.2

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{5 - i \sqrt{7}}{4})$

ステップ 7.3

左辺を展開します。

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ステップ 7.3.1

$x$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{x})$ を展開します。

$x \ln (e) = \ln (\frac{5 - i \sqrt{7}}{4})$

ステップ 7.3.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$x \cdot 1 = \ln (\frac{5 - i \sqrt{7}}{4})$

ステップ 7.3.3

$x$ に $1$ をかけます。

$x = \ln (\frac{5 - i \sqrt{7}}{4})$

ステップ 7.4

右辺を展開します。

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ステップ 7.4.1

$\ln (\frac{5 - i \sqrt{7}}{4})$ を $\ln (5 - i \sqrt{7}) - \ln (4)$ に書き換えます。

$x = \ln (5 - i \sqrt{7}) - \ln (4)$

ステップ 7.4.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{7}$ を $7^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$x = \ln (5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (4)$

ステップ 7.4.3

$\ln (4)$ を $\ln (2^{2})$ に書き換えます。

$x = \ln (5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (2^{2})$

ステップ 7.4.4

$2$ を対数の外に移動させて、 $\ln (2^{2})$ を展開します。

$x = \ln (5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - (2 \ln (2))$

ステップ 7.4.5

$2$ に $- 1$ をかけます。

$x = \ln (5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - 2 \ln (2)$

ステップ 7.5

簡約します。

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ステップ 7.5.1

各項を簡約します。

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ステップ 7.5.1.1

対数の中の $2$ を移動させて $- 2 \ln (2)$ を簡約します。

$x = \ln (5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (2^{2})$

ステップ 7.5.1.2

$2$ を $2$ 乗します。

$x = \ln (5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (4)$

ステップ 7.5.2

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$x = \ln (\frac{5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}}{4})$

ステップ 8

方程式が真になるような解をリストします。

$x = \ln (\frac{5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}}{4}), \ln (\frac{5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}}{4})$

有限数学 例

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