有限数学例

$24 c^{2} (2 c - 7) = - 35 (2 c - 7) - 58 c (2 c - 7)$

ステップ 1

$c$ が方程式の右辺にあるので、両辺を入れ替えると左辺になります。

$- 35 (2 c - 7) - 58 c (2 c - 7) = 24 c^{2} (2 c - 7)$

ステップ 2

$- 35 (2 c - 7) - 58 c (2 c - 7)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

分配則を当てはめます。

$- 35 (2 c) - 35 \cdot - 7 - 58 c (2 c - 7) = 24 c^{2} (2 c - 7)$

ステップ 2.1.2

$2$ に $- 35$ をかけます。

$- 70 c - 35 \cdot - 7 - 58 c (2 c - 7) = 24 c^{2} (2 c - 7)$

ステップ 2.1.3

$- 35$ に $- 7$ をかけます。

$- 70 c + 245 - 58 c (2 c - 7) = 24 c^{2} (2 c - 7)$

ステップ 2.1.4

分配則を当てはめます。

$- 70 c + 245 - 58 c (2 c) - 58 c \cdot - 7 = 24 c^{2} (2 c - 7)$

ステップ 2.1.5

積の可換性を利用して書き換えます。

$- 70 c + 245 - 58 \cdot 2 c \cdot c - 58 c \cdot - 7 = 24 c^{2} (2 c - 7)$

ステップ 2.1.6

$- 7$ に $- 58$ をかけます。

$- 70 c + 245 - 58 \cdot 2 c \cdot c + 406 c = 24 c^{2} (2 c - 7)$

ステップ 2.1.7

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.7.1

指数を足して $c$ に $c$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.7.1.1

$c$ を移動させます。

$- 70 c + 245 - 58 \cdot 2 (c \cdot c) + 406 c = 24 c^{2} (2 c - 7)$

ステップ 2.1.7.1.2

$c$ に $c$ をかけます。

$- 70 c + 245 - 58 \cdot 2 c^{2} + 406 c = 24 c^{2} (2 c - 7)$

ステップ 2.1.7.2

$- 58$ に $2$ をかけます。

$- 70 c + 245 - 116 c^{2} + 406 c = 24 c^{2} (2 c - 7)$

ステップ 2.2

$- 70 c$ と $406 c$ をたし算します。

$336 c + 245 - 116 c^{2} = 24 c^{2} (2 c - 7)$

ステップ 3

$24 c^{2} (2 c - 7)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

両辺を掛けて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

分配則を当てはめます。

$336 c + 245 - 116 c^{2} = 24 c^{2} (2 c) + 24 c^{2} \cdot - 7$

ステップ 3.1.2

式を簡約します。

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ステップ 3.1.2.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$336 c + 245 - 116 c^{2} = 24 \cdot 2 c^{2} c + 24 c^{2} \cdot - 7$

ステップ 3.1.2.2

$- 7$ に $24$ をかけます。

$336 c + 245 - 116 c^{2} = 24 \cdot 2 c^{2} c - 168 c^{2}$

ステップ 3.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

指数を足して $c^{2}$ に $c$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1

$c$ を移動させます。

$336 c + 245 - 116 c^{2} = 24 \cdot 2 (c \cdot c^{2}) - 168 c^{2}$

ステップ 3.2.1.2

$c$ に $c^{2}$ をかけます。

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ステップ 3.2.1.2.1

$c$ を $1$ 乗します。

$336 c + 245 - 116 c^{2} = 24 \cdot 2 (c^{1} c^{2}) - 168 c^{2}$

ステップ 3.2.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$336 c + 245 - 116 c^{2} = 24 \cdot 2 c^{1 + 2} - 168 c^{2}$

ステップ 3.2.1.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$336 c + 245 - 116 c^{2} = 24 \cdot 2 c^{3} - 168 c^{2}$

ステップ 3.2.2

$24$ に $2$ をかけます。

$336 c + 245 - 116 c^{2} = 48 c^{3} - 168 c^{2}$

ステップ 4

$c$ を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

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ステップ 4.1

方程式の両辺から $48 c^{3}$ を引きます。

$336 c + 245 - 116 c^{2} - 48 c^{3} = - 168 c^{2}$

ステップ 4.2

方程式の両辺に $168 c^{2}$ を足します。

$336 c + 245 - 116 c^{2} - 48 c^{3} + 168 c^{2} = 0$

ステップ 4.3

$- 116 c^{2}$ と $168 c^{2}$ をたし算します。

$336 c + 245 - 48 c^{3} + 52 c^{2} = 0$

ステップ 5

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 5.1

項を並べ替えます。

$- 48 c^{3} + 52 c^{2} + 336 c + 245 = 0$

ステップ 5.2

有理根検定を用いて $- 48 c^{3} + 52 c^{2} + 336 c + 245$ を因数分解します。

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ステップ 5.2.1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 245, \pm 5, \pm 49, \pm 7, \pm 35$

$q = \pm 1, \pm 48, \pm 2, \pm 24, \pm 3, \pm 16, \pm 4, \pm 12, \pm 6, \pm 8$

ステップ 5.2.2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 0.0208\overline{3}, \pm 0.5, \pm 0.041\overline{6}, \pm 0.\overline{3}, \pm 0.0625, \pm 0.25, \pm 0.08\overline{3}, \pm 0.1\overline{6}, \pm 0.125, \pm 245, \pm 5.1041\overline{6}, \pm 122.5, \pm 10.208\overline{3}, \pm 81.\overline{6}, \pm 15.3125, \pm 61.25, \pm 20.41\overline{6}, \pm 40.8\overline{3}, \pm 30.625, \pm 5, \pm 0.1041\overline{6}, \pm 2.5, \pm 0.208\overline{3}, \pm 1.\overline{6}, \pm 0.3125, \pm 1.25, \pm 0.41\overline{6}, \pm 0.8\overline{3}, \pm 0.625, \pm 49, \pm 1.0208\overline{3}, \pm 24.5, \pm 2.041\overline{6}, \pm 16.\overline{3}, \pm 3.0625, \pm 12.25, \pm 4.08\overline{3}, \pm 8.1\overline{6}, \pm 6.125, \pm 7, \pm 0.1458\overline{3}, \pm 3.5, \pm 0.291\overline{6}, \pm 2.\overline{3}, \pm 0.4375, \pm 1.75, \pm 0.58\overline{3}, \pm 1.1\overline{6}, \pm 0.875, \pm 35, \pm 0.7291\overline{6}, \pm 17.5, \pm 1.458\overline{3}, \pm 11.\overline{6}, \pm 2.1875, \pm 8.75, \pm 2.91\overline{6}, \pm 5.8\overline{3}, \pm 4.375$

ステップ 5.2.3

$- 1.25$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しいので、 $- 1.25$ は多項式の根です。

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ステップ 5.2.3.1

$- 1.25$ を多項式に代入します。

$- 48 {(- 1.25)}^{3} + 52 {(- 1.25)}^{2} + 336 \cdot - 1.25 + 245$

ステップ 5.2.3.2

$- 1.25$ を $3$ 乗します。

$- 48 \cdot - 1.953125 + 52 {(- 1.25)}^{2} + 336 \cdot - 1.25 + 245$

ステップ 5.2.3.3

$- 48$ に $- 1.953125$ をかけます。

$93.75 + 52 {(- 1.25)}^{2} + 336 \cdot - 1.25 + 245$

ステップ 5.2.3.4

$- 1.25$ を $2$ 乗します。

$93.75 + 52 \cdot 1.5625 + 336 \cdot - 1.25 + 245$

ステップ 5.2.3.5

$52$ に $1.5625$ をかけます。

$93.75 + 81.25 + 336 \cdot - 1.25 + 245$

ステップ 5.2.3.6

$93.75$ と $81.25$ をたし算します。

$175 + 336 \cdot - 1.25 + 245$

ステップ 5.2.3.7

$336$ に $- 1.25$ をかけます。

$175 - 420 + 245$

ステップ 5.2.3.8

$175$ から $420$ を引きます。

$- 245 + 245$

ステップ 5.2.3.9

$- 245$ と $245$ をたし算します。

$0$

ステップ 5.2.4

$- 1.25$ は既知の根なので、多項式を $4 c + 5$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{- 48 c^{3} + 52 c^{2} + 336 c + 245}{4 c + 5}$

ステップ 5.2.5

$- 48 c^{3} + 52 c^{2} + 336 c + 245$ を $4 c + 5$ で割ります。

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ステップ 5.2.5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$4 c$

$5$

$48 c^{3}$

$52 c^{2}$

$336 c$

$245$

ステップ 5.2.5.2

被除数 $- 48 c^{3}$ の最高次項を除数 $4 c$ の最高次項で割ります。

				-	$12 c^{2}$
	$4 c$	+	$5$	-	$48 c^{3}$	+	$52 c^{2}$	+	$336 c$	+	$245$

ステップ 5.2.5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

			-	$12 c^{2}$
$4 c$	+	$5$	-	$48 c^{3}$	+	$52 c^{2}$	+	$336 c$	+	$245$
			-	$48 c^{3}$	-	$60 c^{2}$

ステップ 5.2.5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $- 48 c^{3} - 60 c^{2}$ の符号をすべて変更します。

			-	$12 c^{2}$
$4 c$	+	$5$	-	$48 c^{3}$	+	$52 c^{2}$	+	$336 c$	+	$245$
			+	$48 c^{3}$	+	$60 c^{2}$

ステップ 5.2.5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

			-	$12 c^{2}$
$4 c$	+	$5$	-	$48 c^{3}$	+	$52 c^{2}$	+	$336 c$	+	$245$
			+	$48 c^{3}$	+	$60 c^{2}$
					+	$112 c^{2}$

ステップ 5.2.5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

			-	$12 c^{2}$
$4 c$	+	$5$	-	$48 c^{3}$	+	$52 c^{2}$	+	$336 c$	+	$245$
			+	$48 c^{3}$	+	$60 c^{2}$
					+	$112 c^{2}$	+	$336 c$

ステップ 5.2.5.7

被除数 $112 c^{2}$ の最高次項を除数 $4 c$ の最高次項で割ります。

			-	$12 c^{2}$	+	$28 c$
$4 c$	+	$5$	-	$48 c^{3}$	+	$52 c^{2}$	+	$336 c$	+	$245$
			+	$48 c^{3}$	+	$60 c^{2}$
					+	$112 c^{2}$	+	$336 c$

ステップ 5.2.5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

			-	$12 c^{2}$	+	$28 c$
$4 c$	+	$5$	-	$48 c^{3}$	+	$52 c^{2}$	+	$336 c$	+	$245$
			+	$48 c^{3}$	+	$60 c^{2}$
					+	$112 c^{2}$	+	$336 c$
					+	$112 c^{2}$	+	$140 c$

ステップ 5.2.5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $112 c^{2} + 140 c$ の符号をすべて変更します。

			-	$12 c^{2}$	+	$28 c$
$4 c$	+	$5$	-	$48 c^{3}$	+	$52 c^{2}$	+	$336 c$	+	$245$
			+	$48 c^{3}$	+	$60 c^{2}$
					+	$112 c^{2}$	+	$336 c$
					-	$112 c^{2}$	-	$140 c$

ステップ 5.2.5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

			-	$12 c^{2}$	+	$28 c$
$4 c$	+	$5$	-	$48 c^{3}$	+	$52 c^{2}$	+	$336 c$	+	$245$
			+	$48 c^{3}$	+	$60 c^{2}$
					+	$112 c^{2}$	+	$336 c$
					-	$112 c^{2}$	-	$140 c$
							+	$196 c$

ステップ 5.2.5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

			-	$12 c^{2}$	+	$28 c$
$4 c$	+	$5$	-	$48 c^{3}$	+	$52 c^{2}$	+	$336 c$	+	$245$
			+	$48 c^{3}$	+	$60 c^{2}$
					+	$112 c^{2}$	+	$336 c$
					-	$112 c^{2}$	-	$140 c$
							+	$196 c$	+	$245$

ステップ 5.2.5.12

被除数 $196 c$ の最高次項を除数 $4 c$ の最高次項で割ります。

			-	$12 c^{2}$	+	$28 c$	+	$49$
$4 c$	+	$5$	-	$48 c^{3}$	+	$52 c^{2}$	+	$336 c$	+	$245$
			+	$48 c^{3}$	+	$60 c^{2}$
					+	$112 c^{2}$	+	$336 c$
					-	$112 c^{2}$	-	$140 c$
							+	$196 c$	+	$245$

ステップ 5.2.5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

			-	$12 c^{2}$	+	$28 c$	+	$49$
$4 c$	+	$5$	-	$48 c^{3}$	+	$52 c^{2}$	+	$336 c$	+	$245$
			+	$48 c^{3}$	+	$60 c^{2}$
					+	$112 c^{2}$	+	$336 c$
					-	$112 c^{2}$	-	$140 c$
							+	$196 c$	+	$245$
							+	$196 c$	+	$245$

ステップ 5.2.5.14

式は被除数から引く必要があるので、 $196 c + 245$ の符号をすべて変更します。

			-	$12 c^{2}$	+	$28 c$	+	$49$
$4 c$	+	$5$	-	$48 c^{3}$	+	$52 c^{2}$	+	$336 c$	+	$245$
			+	$48 c^{3}$	+	$60 c^{2}$
					+	$112 c^{2}$	+	$336 c$
					-	$112 c^{2}$	-	$140 c$
							+	$196 c$	+	$245$
							-	$196 c$	-	$245$

ステップ 5.2.5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

			-	$12 c^{2}$	+	$28 c$	+	$49$
$4 c$	+	$5$	-	$48 c^{3}$	+	$52 c^{2}$	+	$336 c$	+	$245$
			+	$48 c^{3}$	+	$60 c^{2}$
					+	$112 c^{2}$	+	$336 c$
					-	$112 c^{2}$	-	$140 c$
							+	$196 c$	+	$245$
							-	$196 c$	-	$245$
										$0$

ステップ 5.2.5.16

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$- 12 c^{2} + 28 c + 49$

ステップ 5.2.6

$- 48 c^{3} + 52 c^{2} + 336 c + 245$ を因数の集合として書き換えます。

$(4 c + 5) (- 12 c^{2} + 28 c + 49) = 0$

ステップ 5.3

因数分解。

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ステップ 5.3.1

群による因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = - 12 \cdot 49 = - 588$ で和が $b = 28$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 5.3.1.1.1

$28$ を $28 c$ で因数分解します。

$(4 c + 5) (- 12 c^{2} + 28 (c) + 49) = 0$

ステップ 5.3.1.1.2

$28$ を $- 14$ プラス $42$ に書き換える

$(4 c + 5) (- 12 c^{2} + (- 14 + 42) c + 49) = 0$

ステップ 5.3.1.1.3

分配則を当てはめます。

$(4 c + 5) (- 12 c^{2} - 14 c + 42 c + 49) = 0$

ステップ 5.3.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(4 c + 5) ((- 12 c^{2} - 14 c) + 42 c + 49) = 0$

ステップ 5.3.1.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$(4 c + 5) (2 c (- 6 c - 7) - 7 (- 6 c - 7)) = 0$

ステップ 5.3.1.3

最大公約数 $- 6 c - 7$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(4 c + 5) ((- 6 c - 7) (2 c - 7)) = 0$

ステップ 5.3.2

不要な括弧を削除します。

$(4 c + 5) (- 6 c - 7) (2 c - 7) = 0$

ステップ 6

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$4 c + 5 = 0$

$- 6 c - 7 = 0$

$2 c - 7 = 0$

ステップ 7

$4 c + 5$ を $0$ に等しくし、 $c$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$4 c + 5$ が $0$ に等しいとします。

$4 c + 5 = 0$

ステップ 7.2

$c$ について $4 c + 5 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

方程式の両辺から $5$ を引きます。

$4 c = - 5$

ステップ 7.2.2

$4 c = - 5$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1

$4 c = - 5$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 c}{4} = \frac{- 5}{4}$

ステップ 7.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 c}{4} = \frac{- 5}{4}$

ステップ 7.2.2.2.1.2

$c$ を $1$ で割ります。

$c = \frac{- 5}{4}$

ステップ 7.2.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$c = - \frac{5}{4}$

ステップ 8

$- 6 c - 7$ を $0$ に等しくし、 $c$ を解きます。

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ステップ 8.1

$- 6 c - 7$ が $0$ に等しいとします。

$- 6 c - 7 = 0$

ステップ 8.2

$c$ について $- 6 c - 7 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

方程式の両辺に $7$ を足します。

$- 6 c = 7$

ステップ 8.2.2

$- 6 c = 7$ の各項を $- 6$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.2.1

$- 6 c = 7$ の各項を $- 6$ で割ります。

$\frac{- 6 c}{- 6} = \frac{7}{- 6}$

ステップ 8.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.2.2.1

$- 6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 6 c}{- 6} = \frac{7}{- 6}$

ステップ 8.2.2.2.1.2

$c$ を $1$ で割ります。

$c = \frac{7}{- 6}$

ステップ 8.2.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$c = - \frac{7}{6}$

ステップ 9

$2 c - 7$ を $0$ に等しくし、 $c$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

$2 c - 7$ が $0$ に等しいとします。

$2 c - 7 = 0$

ステップ 9.2

$c$ について $2 c - 7 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1

方程式の両辺に $7$ を足します。

$2 c = 7$

ステップ 9.2.2

$2 c = 7$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.2.1

$2 c = 7$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 c}{2} = \frac{7}{2}$

ステップ 9.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 9.2.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 c}{2} = \frac{7}{2}$

ステップ 9.2.2.2.1.2

$c$ を $1$ で割ります。

$c = \frac{7}{2}$

ステップ 10

最終解は $(4 c + 5) (- 6 c - 7) (2 c - 7) = 0$ を真にするすべての値です。

$c = - \frac{5}{4}, - \frac{7}{6}, \frac{7}{2}$

ステップ 11

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$c = - \frac{5}{4}, - \frac{7}{6}, \frac{7}{2}$

10進法形式：

$c = - 1.25, - 1.1\overline{6}, 3.5$

帯分数形：

$c = - 1 \frac{1}{4}, - 1 \frac{1}{6}, 3 \frac{1}{2}$

有限数学 例

有限数学例