有限数学例

$3 = \log_{b} (\frac{27}{64})$

ステップ 1

方程式を $\log_{b} (\frac{27}{64}) = 3$ として書き換えます。

$\log_{b} (\frac{27}{64}) = 3$

ステップ 2

対数の定義を利用して $\log_{b} (\frac{27}{64}) = 3$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$b^{3} = \frac{27}{64}$

ステップ 3

$b$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式の両辺から $\frac{27}{64}$ を引きます。

$b^{3} - \frac{27}{64} = 0$

ステップ 3.2

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 3.2.1

$\frac{27}{64}$ を ${(\frac{3}{4})}^{3}$ に書き換えます。

$b^{3} - {(\frac{3}{4})}^{3} = 0$

ステップ 3.2.2

両項とも完全立方なので、立方の差の公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = b$ であり、 $b = \frac{3}{4}$ です。

$(b - \frac{3}{4}) (b^{2} + b (\frac{3}{4}) + {(\frac{3}{4})}^{2}) = 0$

ステップ 3.2.3

簡約します。

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ステップ 3.2.3.1

$b$ と $\frac{3}{4}$ をまとめます。

$(b - \frac{3}{4}) (b^{2} + \frac{b \cdot 3}{4} + {(\frac{3}{4})}^{2}) = 0$

ステップ 3.2.3.2

$3$ を $b$ の左に移動させます。

$(b - \frac{3}{4}) (b^{2} + \frac{3 \cdot b}{4} + {(\frac{3}{4})}^{2}) = 0$

ステップ 3.2.3.3

$3$ に $b$ をかけます。

$(b - \frac{3}{4}) (b^{2} + \frac{3 b}{4} + {(\frac{3}{4})}^{2}) = 0$

ステップ 3.2.3.4

積の法則を $\frac{3}{4}$ に当てはめます。

$(b - \frac{3}{4}) (b^{2} + \frac{3 b}{4} + \frac{3^{2}}{4^{2}}) = 0$

ステップ 3.2.3.5

$3$ を $2$ 乗します。

$(b - \frac{3}{4}) (b^{2} + \frac{3 b}{4} + \frac{9}{4^{2}}) = 0$

ステップ 3.2.3.6

$4$ を $2$ 乗します。

$(b - \frac{3}{4}) (b^{2} + \frac{3 b}{4} + \frac{9}{16}) = 0$

ステップ 3.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$b - \frac{3}{4} = 0$

$b^{2} + \frac{3 b}{4} + \frac{9}{16} = 0$

ステップ 3.4

$b - \frac{3}{4}$ を $0$ に等しくし、 $b$ を解きます。

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ステップ 3.4.1

$b - \frac{3}{4}$ が $0$ に等しいとします。

$b - \frac{3}{4} = 0$

ステップ 3.4.2

方程式の両辺に $\frac{3}{4}$ を足します。

$b = \frac{3}{4}$

ステップ 3.5

$b^{2} + \frac{3 b}{4} + \frac{9}{16}$ を $0$ に等しくし、 $b$ を解きます。

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ステップ 3.5.1

$b^{2} + \frac{3 b}{4} + \frac{9}{16}$ が $0$ に等しいとします。

$b^{2} + \frac{3 b}{4} + \frac{9}{16} = 0$

ステップ 3.5.2

$b$ について $b^{2} + \frac{3 b}{4} + \frac{9}{16} = 0$ を解きます。

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ステップ 3.5.2.1

両辺に最小公分母 $16$ を掛け、次に簡約します。

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ステップ 3.5.2.1.1

分配則を当てはめます。

$16 b^{2} + 16 (\frac{3 b}{4}) + 16 (\frac{9}{16}) = 0$

ステップ 3.5.2.1.2

簡約します。

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ステップ 3.5.2.1.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.5.2.1.2.1.1

$4$ を $16$ で因数分解します。

$16 b^{2} + 4 (4) (\frac{3 b}{4}) + 16 (\frac{9}{16}) = 0$

ステップ 3.5.2.1.2.1.2

共通因数を約分します。

$16 b^{2} + 4 \cdot (4 (\frac{3 b}{4})) + 16 (\frac{9}{16}) = 0$

ステップ 3.5.2.1.2.1.3

式を書き換えます。

$16 b^{2} + 4 (3 b) + 16 (\frac{9}{16}) = 0$

ステップ 3.5.2.1.2.2

$3$ に $4$ をかけます。

$16 b^{2} + 12 b + 16 (\frac{9}{16}) = 0$

ステップ 3.5.2.1.2.3

$16$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.5.2.1.2.3.1

共通因数を約分します。

$16 b^{2} + 12 b + 16 (\frac{9}{16}) = 0$

ステップ 3.5.2.1.2.3.2

式を書き換えます。

$16 b^{2} + 12 b + 9 = 0$

ステップ 3.5.2.2

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 3.5.2.3

$a = 16$ 、 $b = 12$ 、および $c = 9$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $b$ の値を求めます。

$\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot (16 \cdot 9)}}{2 \cdot 16}$

ステップ 3.5.2.4

簡約します。

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ステップ 3.5.2.4.1

分子を簡約します。

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ステップ 3.5.2.4.1.1

$12$ を $2$ 乗します。

$b = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 16 \cdot 9}}{2 \cdot 16}$

ステップ 3.5.2.4.1.2

$- 4 \cdot 16 \cdot 9$ を掛けます。

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ステップ 3.5.2.4.1.2.1

$- 4$ に $16$ をかけます。

$b = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 64 \cdot 9}}{2 \cdot 16}$

ステップ 3.5.2.4.1.2.2

$- 64$ に $9$ をかけます。

$b = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 576}}{2 \cdot 16}$

ステップ 3.5.2.4.1.3

$144$ から $576$ を引きます。

$b = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 432}}{2 \cdot 16}$

ステップ 3.5.2.4.1.4

$- 432$ を $- 1 (432)$ に書き換えます。

$b = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 1 \cdot 432}}{2 \cdot 16}$

ステップ 3.5.2.4.1.5

$\sqrt{- 1 (432)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{432}$ に書き換えます。

$b = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{432}}{2 \cdot 16}$

ステップ 3.5.2.4.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$b = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{432}}{2 \cdot 16}$

ステップ 3.5.2.4.1.7

$432$ を $12^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

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ステップ 3.5.2.4.1.7.1

$144$ を $432$ で因数分解します。

$b = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{144 (3)}}{2 \cdot 16}$

ステップ 3.5.2.4.1.7.2

$144$ を $12^{2}$ に書き換えます。

$b = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{12^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 16}$

ステップ 3.5.2.4.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$b = \frac{- 12 \pm i \cdot (12 \sqrt{3})}{2 \cdot 16}$

ステップ 3.5.2.4.1.9

$12$ を $i$ の左に移動させます。

$b = \frac{- 12 \pm 12 i \sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

ステップ 3.5.2.4.2

$2$ に $16$ をかけます。

$b = \frac{- 12 \pm 12 i \sqrt{3}}{32}$

ステップ 3.5.2.4.3

$\frac{- 12 \pm 12 i \sqrt{3}}{32}$ を簡約します。

$b = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{8}$

ステップ 3.5.2.5

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$b = - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{8}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{8}$

ステップ 3.6

最終解は $(b - \frac{3}{4}) (b^{2} + \frac{3 b}{4} + \frac{9}{16}) = 0$ を真にするすべての値です。

$b = \frac{3}{4}, - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{8}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{8}$

有限数学 例

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