有限数学例

$f (x) = (9 \sqrt{x} - 5) (7 \sqrt{x} + 3)$

Step 1

$f (x) = (9 \sqrt{x} - 5) (7 \sqrt{x} + 3)$ を方程式で書きます。

$y = (9 \sqrt{x} - 5) (7 \sqrt{x} + 3)$

Step 2

変数を入れ替えます。

$x = (9 \sqrt{y} - 5) (7 \sqrt{y} + 3)$

Step 3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

方程式を $(9 \sqrt{y} - 5) (7 \sqrt{y} + 3) = x$ として書き換えます。

$(9 \sqrt{y} - 5) (7 \sqrt{y} + 3) = x$

$\sqrt{y}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

$(9 \sqrt{y} - 5) (7 \sqrt{y} + 3)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

分配法則（FOIL法）を使って $(9 \sqrt{y} - 5) (7 \sqrt{y} + 3)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

分配則を当てはめます。

$9 \sqrt{y} (7 \sqrt{y} + 3) - 5 (7 \sqrt{y} + 3) = x$

分配則を当てはめます。

$9 \sqrt{y} (7 \sqrt{y}) + 9 \sqrt{y} \cdot 3 - 5 (7 \sqrt{y} + 3) = x$

分配則を当てはめます。

$9 \sqrt{y} (7 \sqrt{y}) + 9 \sqrt{y} \cdot 3 - 5 (7 \sqrt{y}) - 5 \cdot 3 = x$

簡約し、同類項をまとめます。

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各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

積の可換性を利用して書き換えます。

$9 \cdot 7 \sqrt{y} \sqrt{y} + 9 \sqrt{y} \cdot 3 - 5 (7 \sqrt{y}) - 5 \cdot 3 = x$

指数を足して $\sqrt{y}$ に $\sqrt{y}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

$\sqrt{y}$ を移動させます。

$9 \cdot 7 (\sqrt{y} \sqrt{y}) + 9 \sqrt{y} \cdot 3 - 5 (7 \sqrt{y}) - 5 \cdot 3 = x$

$\sqrt{y}$ に $\sqrt{y}$ をかけます。

$9 \cdot 7 {\sqrt{y}}^{2} + 9 \sqrt{y} \cdot 3 - 5 (7 \sqrt{y}) - 5 \cdot 3 = x$

$9$ に $7$ をかけます。

$63 {\sqrt{y}}^{2} + 9 \sqrt{y} \cdot 3 - 5 (7 \sqrt{y}) - 5 \cdot 3 = x$

$3$ に $9$ をかけます。

$63 {\sqrt{y}}^{2} + 27 \sqrt{y} - 5 (7 \sqrt{y}) - 5 \cdot 3 = x$

$7$ に $- 5$ をかけます。

$63 {\sqrt{y}}^{2} + 27 \sqrt{y} - 35 \sqrt{y} - 5 \cdot 3 = x$

$- 5$ に $3$ をかけます。

$63 {\sqrt{y}}^{2} + 27 \sqrt{y} - 35 \sqrt{y} - 15 = x$

$27 \sqrt{y}$ から $35 \sqrt{y}$ を引きます。

$63 {\sqrt{y}}^{2} - 8 \sqrt{y} - 15 = x$

方程式の両辺から $x$ を引きます。

$63 {\sqrt{y}}^{2} - 8 \sqrt{y} - 15 - x = 0$

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

$a = 63$ 、 $b = - 8$ 、および $c = - 15 - x$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $\sqrt{y}$ の値を求めます。

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (63 \cdot (- 15 - x))}}{2 \cdot 63}$

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$- 8$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 63 \cdot (- 15 - x)}}{2 \cdot 63}$

$- 4$ に $63$ をかけます。

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 252 \cdot (- 15 - x)}}{2 \cdot 63}$

分配則を当てはめます。

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 252 \cdot - 15 - 252 (- x)}}{2 \cdot 63}$

$- 252$ に $- 15$ をかけます。

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 3780 - 252 (- x)}}{2 \cdot 63}$

$- 1$ に $- 252$ をかけます。

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 3780 + 252 x}}{2 \cdot 63}$

$64$ と $3780$ をたし算します。

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{3844 + 252 x}}{2 \cdot 63}$

$4$ を $3844 + 252 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

$4$ を $3844$ で因数分解します。

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{4 (961) + 252 x}}{2 \cdot 63}$

$4$ を $252 x$ で因数分解します。

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{4 (961) + 4 (63 x)}}{2 \cdot 63}$

$4$ を $4 (961) + 4 (63 x)$ で因数分解します。

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{4 (961 + 63 x)}}{2 \cdot 63}$

$4 (961 + 63 x)$ を $2^{2} (31^{2} + 63 x)$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} (961 + 63 x)}}{2 \cdot 63}$

$961$ を $31^{2}$ に書き換えます。

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} (31^{2} + 63 x)}}{2 \cdot 63}$

累乗根の下から項を取り出します。

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm 2 \sqrt{31^{2} + 63 x}}{2 \cdot 63}$

$31$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm 2 \sqrt{961 + 63 x}}{2 \cdot 63}$

$2$ に $63$ をかけます。

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm 2 \sqrt{961 + 63 x}}{126}$

$\frac{8 \pm 2 \sqrt{961 + 63 x}}{126}$ を簡約します。

$\sqrt{y} = \frac{4 \pm \sqrt{961 + 63 x}}{63}$

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$- 8$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 63 \cdot (- 15 - x)}}{2 \cdot 63}$

$- 4$ に $63$ をかけます。

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 252 \cdot (- 15 - x)}}{2 \cdot 63}$

分配則を当てはめます。

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 252 \cdot - 15 - 252 (- x)}}{2 \cdot 63}$

$- 252$ に $- 15$ をかけます。

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 3780 - 252 (- x)}}{2 \cdot 63}$

$- 1$ に $- 252$ をかけます。

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 3780 + 252 x}}{2 \cdot 63}$

$64$ と $3780$ をたし算します。

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{3844 + 252 x}}{2 \cdot 63}$

$4$ を $3844 + 252 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

$4$ を $3844$ で因数分解します。

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{4 (961) + 252 x}}{2 \cdot 63}$

$4$ を $252 x$ で因数分解します。

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{4 (961) + 4 (63 x)}}{2 \cdot 63}$

$4$ を $4 (961) + 4 (63 x)$ で因数分解します。

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{4 (961 + 63 x)}}{2 \cdot 63}$

$4 (961 + 63 x)$ を $2^{2} (31^{2} + 63 x)$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} (961 + 63 x)}}{2 \cdot 63}$

$961$ を $31^{2}$ に書き換えます。

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} (31^{2} + 63 x)}}{2 \cdot 63}$

累乗根の下から項を取り出します。

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm 2 \sqrt{31^{2} + 63 x}}{2 \cdot 63}$

$31$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm 2 \sqrt{961 + 63 x}}{2 \cdot 63}$

$2$ に $63$ をかけます。

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm 2 \sqrt{961 + 63 x}}{126}$

$\frac{8 \pm 2 \sqrt{961 + 63 x}}{126}$ を簡約します。

$\sqrt{y} = \frac{4 \pm \sqrt{961 + 63 x}}{63}$

$\pm$ を $+$ に変更します。

$\sqrt{y} = \frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}$

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$- 8$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 63 \cdot (- 15 - x)}}{2 \cdot 63}$

$- 4$ に $63$ をかけます。

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 252 \cdot (- 15 - x)}}{2 \cdot 63}$

分配則を当てはめます。

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 252 \cdot - 15 - 252 (- x)}}{2 \cdot 63}$

$- 252$ に $- 15$ をかけます。

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 3780 - 252 (- x)}}{2 \cdot 63}$

$- 1$ に $- 252$ をかけます。

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 3780 + 252 x}}{2 \cdot 63}$

$64$ と $3780$ をたし算します。

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{3844 + 252 x}}{2 \cdot 63}$

$4$ を $3844 + 252 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

$4$ を $3844$ で因数分解します。

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{4 (961) + 252 x}}{2 \cdot 63}$

$4$ を $252 x$ で因数分解します。

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{4 (961) + 4 (63 x)}}{2 \cdot 63}$

$4$ を $4 (961) + 4 (63 x)$ で因数分解します。

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{4 (961 + 63 x)}}{2 \cdot 63}$

$4 (961 + 63 x)$ を $2^{2} (31^{2} + 63 x)$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} (961 + 63 x)}}{2 \cdot 63}$

$961$ を $31^{2}$ に書き換えます。

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} (31^{2} + 63 x)}}{2 \cdot 63}$

累乗根の下から項を取り出します。

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm 2 \sqrt{31^{2} + 63 x}}{2 \cdot 63}$

$31$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm 2 \sqrt{961 + 63 x}}{2 \cdot 63}$

$2$ に $63$ をかけます。

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm 2 \sqrt{961 + 63 x}}{126}$

$\frac{8 \pm 2 \sqrt{961 + 63 x}}{126}$ を簡約します。

$\sqrt{y} = \frac{4 \pm \sqrt{961 + 63 x}}{63}$

$\pm$ を $-$ に変更します。

$\sqrt{y} = \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63}$

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$\sqrt{y} = \frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}, \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63}$

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${\sqrt{y}}^{2} = {\frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}, \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63}}^{2}$

方程式の各辺を簡約します。

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$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{y}$ を $y^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {\frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}, \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63}}^{2}$

左辺を簡約します。

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${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

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${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

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べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}, \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63}}^{2}$

$2$ の共通因数を約分します。

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共通因数を約分します。

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}, \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63}}^{2}$

式を書き換えます。

$y^{1} = {\frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}, \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63}}^{2}$

簡約します。

$y = \frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}$

$y = \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63^{2}}$

$y = \frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}$

$y = \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63^{2}}$

$y = {\frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}, \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63}}^{2}$

$y = \frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}$

$y = \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63^{2}}$

$y = \frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}$

$y = \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63^{2}}$

Step 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}, \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63^{2}}$

Step 5

$f^{- 1} (x) = \frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}, \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63^{2}}$ が $f (x) = (9 \sqrt{x} - 5) (7 \sqrt{x} + 3)$ の逆か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

逆の定義域は元の関数の値域です、逆も同じです。定義域と $f (x) = (9 \sqrt{x} - 5) (7 \sqrt{x} + 3)$ の値域、 $f^{- 1} (x) = \frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}, \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63^{2}}$ を求め、それらを比較します。

$f (x) = (9 \sqrt{x} - 5) (7 \sqrt{x} + 3)$ の値域を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

値域はすべての有効な $y$ 値の集合です。グラフを利用して値域を求めます。

区間記号：

$[- \frac{961}{63}, - 15]$

$\frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}$ の定義域を求めます。

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$\sqrt{961 + 63 x}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$961 + 63 x \geq 0$

$x$ について解きます。

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不等式の両辺から $961$ を引きます。

$63 x \geq - 961$

$63 x \geq - 961$ の各項を $63$ で割り、簡約します。

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$63 x \geq - 961$ の各項を $63$ で割ります。

$\frac{63 x}{63} \geq \frac{- 961}{63}$

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$63$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

共通因数を約分します。

$\frac{63 x}{63} \geq \frac{- 961}{63}$

$x$ を $1$ で割ります。

$x \geq \frac{- 961}{63}$

右辺を簡約します。

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分数の前に負数を移動させます。

$x \geq - \frac{961}{63}$

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$[- \frac{961}{63}, \infty)$

$f^{- 1} (x) = \frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}, \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63^{2}}$ の定義域が $f (x) = (9 \sqrt{x} - 5) (7 \sqrt{x} + 3)$ の範囲に等しくないので、 $f^{- 1} (x) = \frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}, \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63^{2}}$ は $f (x) = (9 \sqrt{x} - 5) (7 \sqrt{x} + 3)$ の逆ではありません。

逆はありません

Step 6

有限数学 例

有限数学例