有限数学例

$79 \sin^{2} (x) = \cos (2 x)$

ステップ 1

方程式の両辺から $\cos (2 x)$ を引きます。

$79 \sin^{2} (x) - \cos (2 x) = 0$

ステップ 2

方程式の左辺を簡約します。

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ステップ 2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.1.1

2倍角の公式を利用して $\cos (2 x)$ を $1 - 2 \sin^{2} (x)$ に変換します。

$79 \sin^{2} (x) - (1 - 2 \sin^{2} (x)) = 0$

ステップ 2.1.2

分配則を当てはめます。

$79 \sin^{2} (x) - 1 \cdot 1 - (- 2 \sin^{2} (x)) = 0$

ステップ 2.1.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$79 \sin^{2} (x) - 1 - (- 2 \sin^{2} (x)) = 0$

ステップ 2.1.4

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$79 \sin^{2} (x) - 1 + 2 \sin^{2} (x) = 0$

ステップ 2.2

$79 \sin^{2} (x)$ と $2 \sin^{2} (x)$ をたし算します。

$- 1 + 81 \sin^{2} (x) = 0$

ステップ 3

$- 1 + 81 \sin^{2} (x)$ を因数分解します。

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ステップ 3.1

$81 \sin^{2} (x)$ を ${(9 \sin (x))}^{2}$ に書き換えます。

$- 1 + {(9 \sin (x))}^{2} = 0$

ステップ 3.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$- 1^{2} + {(9 \sin (x))}^{2} = 0$

ステップ 3.3

$- 1^{2}$ と ${(9 \sin (x))}^{2}$ を並べ替えます。

${(9 \sin (x))}^{2} - 1^{2} = 0$

ステップ 3.4

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 9 \sin (x)$ であり、 $b = 1$ です。

$(9 \sin (x) + 1) (9 \sin (x) - 1) = 0$

ステップ 4

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$9 \sin (x) + 1 = 0$

$9 \sin (x) - 1 = 0$

ステップ 5

$9 \sin (x) + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 5.1

$9 \sin (x) + 1$ が $0$ に等しいとします。

$9 \sin (x) + 1 = 0$

ステップ 5.2

$x$ について $9 \sin (x) + 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 5.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$9 \sin (x) = - 1$

ステップ 5.2.2

$9 \sin (x) = - 1$ の各項を $9$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

$9 \sin (x) = - 1$ の各項を $9$ で割ります。

$\frac{9 \sin (x)}{9} = \frac{- 1}{9}$

ステップ 5.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.2.2.1

$9$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{9 \sin (x)}{9} = \frac{- 1}{9}$

ステップ 5.2.2.2.1.2

$\sin (x)$ を $1$ で割ります。

$\sin (x) = \frac{- 1}{9}$

ステップ 5.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.2.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$\sin (x) = - \frac{1}{9}$

ステップ 5.2.3

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arcsin (- \frac{1}{9})$

ステップ 5.2.4

右辺を簡約します。

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ステップ 5.2.4.1

$\arcsin (- \frac{1}{9})$ の値を求めます。

$x = - 0.11134101$

ステップ 5.2.5

正弦関数は、第三象限と第四象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から解を引き、参照角を求めます。次に、この参照角を $π$ に足し、第三象限で解を求めます。

$x = 2 (3.14159265) + 0.11134101 + 3.14159265$

ステップ 5.2.6

式を簡約し、2番目の解を求めます。

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ステップ 5.2.6.1

$2 (3.14159265) + 0.11134101 + 3.14159265$ から $2 π$ を引きます。

$x = 2 (3.14159265) + 0.11134101 + 3.14159265 - 2 π$

ステップ 5.2.6.2

$3.25293366$ の結果の角度は正で、 $2 π$ より小さく、 $2 (3.14159265) + 0.11134101 + 3.14159265$ と隣接します。

$x = 3.25293366$

ステップ 5.2.7

$\sin (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 5.2.7.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 5.2.7.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 5.2.7.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 5.2.7.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 5.2.8

$2 π$ を各負の角に足し、正の角を得ます。

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ステップ 5.2.8.1

$2 π$ を $- 0.11134101$ に足し、正の角を求めます。

$- 0.11134101 + 2 π$

ステップ 5.2.8.2

$2 π$ から $0.11134101$ を引きます。

$6.17184429$

ステップ 5.2.8.3

新しい角をリストします。

$x = 6.17184429$

ステップ 5.2.9

$\sin (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = 3.25293366 + 2 π n, 6.17184429 + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 6

$9 \sin (x) - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 6.1

$9 \sin (x) - 1$ が $0$ に等しいとします。

$9 \sin (x) - 1 = 0$

ステップ 6.2

$x$ について $9 \sin (x) - 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 6.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$9 \sin (x) = 1$

ステップ 6.2.2

$9 \sin (x) = 1$ の各項を $9$ で割り、簡約します。

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ステップ 6.2.2.1

$9 \sin (x) = 1$ の各項を $9$ で割ります。

$\frac{9 \sin (x)}{9} = \frac{1}{9}$

ステップ 6.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.2.2.2.1

$9$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{9 \sin (x)}{9} = \frac{1}{9}$

ステップ 6.2.2.2.1.2

$\sin (x)$ を $1$ で割ります。

$\sin (x) = \frac{1}{9}$

ステップ 6.2.3

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arcsin (\frac{1}{9})$

ステップ 6.2.4

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.4.1

$\arcsin (\frac{1}{9})$ の値を求めます。

$x = 0.11134101$

ステップ 6.2.5

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$x = (3.14159265) - 0.11134101$

ステップ 6.2.6

$x$ について解きます。

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ステップ 6.2.6.1

括弧を削除します。

$x = 3.14159265 - 0.11134101$

ステップ 6.2.6.2

括弧を削除します。

$x = (3.14159265) - 0.11134101$

ステップ 6.2.6.3

$3.14159265$ から $0.11134101$ を引きます。

$x = 3.03025163$

ステップ 6.2.7

$\sin (x)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.7.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 6.2.7.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 6.2.7.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 6.2.7.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 6.2.8

$\sin (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = 0.11134101 + 2 π n, 3.03025163 + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 7

最終解は $(9 \sin (x) + 1) (9 \sin (x) - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 3.25293366 + 2 π n, 6.17184429 + 2 π n, 0.11134101 + 2 π n, 3.03025163 + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 8

答えをまとめます。

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ステップ 8.1

$0.11134101 + 2 π n$ と $0.11134101 + π n$ を $3.25293366 + 2 π n$ にまとめます。

$x = 0.11134101 + π n, 6.17184429 + 2 π n, 3.03025163 + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 8.2

$3.03025163 + 2 π n$ と $3.03025163 + π n$ を $6.17184429 + 2 π n$ にまとめます。

$x = 0.11134101 + π n, 3.03025163 + π n$ 、任意の整数 $n$

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