有限数学例

$x - \sqrt{x + 1} = 1$

ステップ 1

方程式の両辺から $x$ を引きます。

$- \sqrt{x + 1} = 1 - x$

ステップ 2

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${(- \sqrt{x + 1})}^{2} = {(1 - x)}^{2}$

ステップ 3

方程式の各辺を簡約します。

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ステップ 3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x + 1}$ を ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${(- {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(1 - x)}^{2}$

ステップ 3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

${(- {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

積の法則を $- {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ に当てはめます。

${(- 1)}^{2} {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(1 - x)}^{2}$

ステップ 3.2.1.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$1 {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(1 - x)}^{2}$

ステップ 3.2.1.3

${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ に $1$ をかけます。

${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(1 - x)}^{2}$

ステップ 3.2.1.4

${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.2.1.4.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(1 - x)}^{2}$

ステップ 3.2.1.4.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1.4.2.1

共通因数を約分します。

${(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(1 - x)}^{2}$

ステップ 3.2.1.4.2.2

式を書き換えます。

${(x + 1)}^{1} = {(1 - x)}^{2}$

ステップ 3.2.1.5

簡約します。

$x + 1 = {(1 - x)}^{2}$

ステップ 3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.3.1

${(1 - x)}^{2}$ を簡約します。

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ステップ 3.3.1.1

${(1 - x)}^{2}$ を $(1 - x) (1 - x)$ に書き換えます。

$x + 1 = (1 - x) (1 - x)$

ステップ 3.3.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(1 - x) (1 - x)$ を展開します。

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ステップ 3.3.1.2.1

分配則を当てはめます。

$x + 1 = 1 (1 - x) - x (1 - x)$

ステップ 3.3.1.2.2

分配則を当てはめます。

$x + 1 = 1 \cdot 1 + 1 (- x) - x (1 - x)$

ステップ 3.3.1.2.3

分配則を当てはめます。

$x + 1 = 1 \cdot 1 + 1 (- x) - x \cdot 1 - x (- x)$

ステップ 3.3.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 3.3.1.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.3.1.3.1.1

$1$ に $1$ をかけます。

$x + 1 = 1 + 1 (- x) - x \cdot 1 - x (- x)$

ステップ 3.3.1.3.1.2

$- x$ に $1$ をかけます。

$x + 1 = 1 - x - x \cdot 1 - x (- x)$

ステップ 3.3.1.3.1.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$x + 1 = 1 - x - x - x (- x)$

ステップ 3.3.1.3.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$x + 1 = 1 - x - x - 1 \cdot - 1 x \cdot x$

ステップ 3.3.1.3.1.5

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 3.3.1.3.1.5.1

$x$ を移動させます。

$x + 1 = 1 - x - x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x)$

ステップ 3.3.1.3.1.5.2

$x$ に $x$ をかけます。

$x + 1 = 1 - x - x - 1 \cdot - 1 x^{2}$

ステップ 3.3.1.3.1.6

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$x + 1 = 1 - x - x + 1 x^{2}$

ステップ 3.3.1.3.1.7

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$x + 1 = 1 - x - x + x^{2}$

ステップ 3.3.1.3.2

$- x$ から $x$ を引きます。

$x + 1 = 1 - 2 x + x^{2}$

ステップ 4

$x$ について解きます。

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ステップ 4.1

$x$ が方程式の右辺にあるので、両辺を入れ替えると左辺になります。

$1 - 2 x + x^{2} = x + 1$

ステップ 4.2

$x$ を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

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ステップ 4.2.1

方程式の両辺から $x$ を引きます。

$1 - 2 x + x^{2} - x = 1$

ステップ 4.2.2

$- 2 x$ から $x$ を引きます。

$1 + x^{2} - 3 x = 1$

ステップ 4.3

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$1 + x^{2} - 3 x - 1 = 0$

ステップ 4.4

$1 + x^{2} - 3 x - 1$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 4.4.1

$1$ から $1$ を引きます。

$x^{2} - 3 x + 0 = 0$

ステップ 4.4.2

$x^{2} - 3 x$ と $0$ をたし算します。

$x^{2} - 3 x = 0$

ステップ 4.5

$x$ を $x^{2} - 3 x$ で因数分解します。

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ステップ 4.5.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$x \cdot x - 3 x = 0$

ステップ 4.5.2

$x$ を $- 3 x$ で因数分解します。

$x \cdot x + x \cdot - 3 = 0$

ステップ 4.5.3

$x$ を $x \cdot x + x \cdot - 3$ で因数分解します。

$x (x - 3) = 0$

ステップ 4.6

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x - 3 = 0$

ステップ 4.7

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 4.8

$x - 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.8.1

$x - 3$ が $0$ に等しいとします。

$x - 3 = 0$

ステップ 4.8.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x = 3$

ステップ 4.9

最終解は $x (x - 3) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, 3$

ステップ 5

$x - \sqrt{x + 1} = 1$ が真にならない解を除外します。

$x = 3$

有限数学 例

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