有限数学例

$a (n) = \frac{n + 1}{n + 3}$

ステップ 1

方程式の項の最小公分母を求めます。

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ステップ 1.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$1, n + 3$

ステップ 1.2

括弧を削除します。

$1, n + 3$

ステップ 1.3

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$n + 3$

ステップ 2

$a n = \frac{n + 1}{n + 3}$ の各項に $n + 3$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 2.1

$a n = \frac{n + 1}{n + 3}$ の各項に $n + 3$ を掛けます。

$a n (n + 3) = \frac{n + 1}{n + 3} (n + 3)$

ステップ 2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.2.1

分配則を当てはめます。

$a n \cdot n + a n \cdot 3 = \frac{n + 1}{n + 3} (n + 3)$

ステップ 2.2.2

指数を足して $n$ に $n$ を掛けます。

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ステップ 2.2.2.1

$n$ を移動させます。

$a (n \cdot n) + a n \cdot 3 = \frac{n + 1}{n + 3} (n + 3)$

ステップ 2.2.2.2

$n$ に $n$ をかけます。

$a n^{2} + a n \cdot 3 = \frac{n + 1}{n + 3} (n + 3)$

ステップ 2.2.3

$3$ を $a n$ の左に移動させます。

$a n^{2} + 3 \cdot (a n) = \frac{n + 1}{n + 3} (n + 3)$

ステップ 2.2.4

括弧を削除します。

$a n^{2} + 3 a n = \frac{n + 1}{n + 3} (n + 3)$

ステップ 2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.1

$n + 3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.1.1

共通因数を約分します。

$a n^{2} + 3 a n = \frac{n + 1}{n + 3} (n + 3)$

ステップ 2.3.1.2

式を書き換えます。

$a n^{2} + 3 a n = n + 1$

ステップ 3

方程式を解きます。

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ステップ 3.1

方程式の両辺から $n$ を引きます。

$a n^{2} + 3 a n - n = 1$

ステップ 3.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$a n^{2} + 3 a n - n - 1 = 0$

ステップ 3.3

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 3.4

$a = a$ 、 $b = 3 a - 1$ 、および $c = - 1$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $n$ の値を求めます。

$\frac{- (3 a - 1) \pm \sqrt{{(3 a - 1)}^{2} - 4 \cdot (a \cdot - 1)}}{2 a}$

ステップ 3.5

分子を簡約します。

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ステップ 3.5.1

分配則を当てはめます。

$n = \frac{- (3 a) + 1 \pm \sqrt{{(3 a - 1)}^{2} - 4 \cdot a \cdot - 1}}{2 a}$

ステップ 3.5.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$n = \frac{- 3 a + 1 \pm \sqrt{{(3 a - 1)}^{2} - 4 \cdot a \cdot - 1}}{2 a}$

ステップ 3.5.3

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$n = \frac{- 3 a + 1 \pm \sqrt{{(3 a - 1)}^{2} - 4 \cdot a \cdot - 1}}{2 a}$

ステップ 3.5.4

${(3 a - 1)}^{2}$ を $(3 a - 1) (3 a - 1)$ に書き換えます。

$n = \frac{- 3 a + 1 \pm \sqrt{(3 a - 1) (3 a - 1) - 4 \cdot a \cdot - 1}}{2 a}$

ステップ 3.5.5

分配法則（FOIL法）を使って $(3 a - 1) (3 a - 1)$ を展開します。

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ステップ 3.5.5.1

分配則を当てはめます。

$n = \frac{- 3 a + 1 \pm \sqrt{3 a (3 a - 1) - 1 (3 a - 1) - 4 \cdot a \cdot - 1}}{2 a}$

ステップ 3.5.5.2

分配則を当てはめます。

$n = \frac{- 3 a + 1 \pm \sqrt{3 a (3 a) + 3 a \cdot - 1 - 1 (3 a - 1) - 4 \cdot a \cdot - 1}}{2 a}$

ステップ 3.5.5.3

分配則を当てはめます。

$n = \frac{- 3 a + 1 \pm \sqrt{3 a (3 a) + 3 a \cdot - 1 - 1 (3 a) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot a \cdot - 1}}{2 a}$

ステップ 3.5.6

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 3.5.6.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.5.6.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$n = \frac{- 3 a + 1 \pm \sqrt{3 \cdot (3 a \cdot a) + 3 a \cdot - 1 - 1 (3 a) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot a \cdot - 1}}{2 a}$

ステップ 3.5.6.1.2

指数を足して $a$ に $a$ を掛けます。

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ステップ 3.5.6.1.2.1

$a$ を移動させます。

$n = \frac{- 3 a + 1 \pm \sqrt{3 \cdot (3 (a \cdot a)) + 3 a \cdot - 1 - 1 (3 a) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot a \cdot - 1}}{2 a}$

ステップ 3.5.6.1.2.2

$a$ に $a$ をかけます。

$n = \frac{- 3 a + 1 \pm \sqrt{3 \cdot (3 a^{2}) + 3 a \cdot - 1 - 1 (3 a) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot a \cdot - 1}}{2 a}$

ステップ 3.5.6.1.3

$3$ に $3$ をかけます。

$n = \frac{- 3 a + 1 \pm \sqrt{9 a^{2} + 3 a \cdot - 1 - 1 (3 a) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot a \cdot - 1}}{2 a}$

ステップ 3.5.6.1.4

$- 1$ に $3$ をかけます。

$n = \frac{- 3 a + 1 \pm \sqrt{9 a^{2} - 3 a - 1 (3 a) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot a \cdot - 1}}{2 a}$

ステップ 3.5.6.1.5

$3$ に $- 1$ をかけます。

$n = \frac{- 3 a + 1 \pm \sqrt{9 a^{2} - 3 a - 3 a - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot a \cdot - 1}}{2 a}$

ステップ 3.5.6.1.6

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$n = \frac{- 3 a + 1 \pm \sqrt{9 a^{2} - 3 a - 3 a + 1 - 4 \cdot a \cdot - 1}}{2 a}$

ステップ 3.5.6.2

$- 3 a$ から $3 a$ を引きます。

$n = \frac{- 3 a + 1 \pm \sqrt{9 a^{2} - 6 a + 1 - 4 \cdot a \cdot - 1}}{2 a}$

ステップ 3.5.7

$- 1$ に $- 4$ をかけます。

$n = \frac{- 3 a + 1 \pm \sqrt{9 a^{2} - 6 a + 1 + 4 a}}{2 a}$

ステップ 3.5.8

$- 6 a$ と $4 a$ をたし算します。

$n = \frac{- 3 a + 1 \pm \sqrt{9 a^{2} - 2 a + 1}}{2 a}$

ステップ 3.6

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$n = - \frac{3 a - 1 - \sqrt{9 a^{2} - 2 a + 1}}{2 a}$

$n = - \frac{3 a - 1 + \sqrt{9 a^{2} - 2 a + 1}}{2 a}$

$n = - \frac{3 a - 1 - \sqrt{9 a^{2} - 2 a + 1}}{2 a}$

$n = - \frac{3 a - 1 + \sqrt{9 a^{2} - 2 a + 1}}{2 a}$

有限数学 例

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