有限数学例

$\ln^{2} (x) - \ln (x) - 2 = 0$

ステップ 1

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 1.1

$u = \ln (x)$ とします。 $u$ を $\ln (x)$ に代入します。

$u^{2} - u - 2 = 0$

ステップ 1.2

たすき掛けを利用して $u^{2} - u - 2$ を因数分解します。

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ステップ 1.2.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 2$ で、その和が $- 1$ です。

$- 2, 1$

ステップ 1.2.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(u - 2) (u + 1) = 0$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $\ln (x)$ で置き換えます。

$(\ln (x) - 2) (\ln (x) + 1) = 0$

ステップ 2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$\ln (x) - 2 = 0$

$\ln (x) + 1 = 0$

ステップ 3

$\ln (x) - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.1

$\ln (x) - 2$ が $0$ に等しいとします。

$\ln (x) - 2 = 0$

ステップ 3.2

$x$ について $\ln (x) - 2 = 0$ を解きます。

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ステップ 3.2.1

方程式の両辺に $2$ を足します。

$\ln (x) = 2$

ステップ 3.2.2

$x$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (x)} = e^{2}$

ステップ 3.2.3

対数の定義を利用して $\ln (x) = 2$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{2} = x$

ステップ 3.2.4

方程式を $x = e^{2}$ として書き換えます。

$x = e^{2}$

ステップ 4

$\ln (x) + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.1

$\ln (x) + 1$ が $0$ に等しいとします。

$\ln (x) + 1 = 0$

ステップ 4.2

$x$ について $\ln (x) + 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 4.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$\ln (x) = - 1$

ステップ 4.2.2

$x$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (x)} = e^{- 1}$

ステップ 4.2.3

対数の定義を利用して $\ln (x) = - 1$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{- 1} = x$

ステップ 4.2.4

$x$ について解きます。

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ステップ 4.2.4.1

方程式を $x = e^{- 1}$ として書き換えます。

$x = e^{- 1}$

ステップ 4.2.4.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$x = \frac{1}{e}$

ステップ 5

最終解は $(\ln (x) - 2) (\ln (x) + 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = e^{2}, \frac{1}{e}$

ステップ 6

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$x = e^{2}, \frac{1}{e}$

10進法形式：

$x = 7.38905609 \dots, 0.36787944 \dots$

有限数学 例

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