有限数学例

$27 x^{4} + 21 x^{2} + 4 = 0$

ステップ 1

$u = x^{2}$ を方程式に代入します。これにより二次方程式の解の公式を利用しやすくします。

$27 u^{2} + 21 u + 4 = 0$

$u = x^{2}$

ステップ 2

群による因数分解。

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ステップ 2.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 27 \cdot 4 = 108$ で和が $b = 21$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 2.1.1

$21$ を $21 u$ で因数分解します。

$27 u^{2} + 21 (u) + 4 = 0$

ステップ 2.1.2

$21$ を $9$ プラス $12$ に書き換える

$27 u^{2} + (9 + 12) u + 4 = 0$

ステップ 2.1.3

分配則を当てはめます。

$27 u^{2} + 9 u + 12 u + 4 = 0$

ステップ 2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 2.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(27 u^{2} + 9 u) + 12 u + 4 = 0$

ステップ 2.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$9 u (3 u + 1) + 4 (3 u + 1) = 0$

ステップ 2.3

最大公約数 $3 u + 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(3 u + 1) (9 u + 4) = 0$

ステップ 3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$3 u + 1 = 0$

$9 u + 4 = 0$

ステップ 4

$3 u + 1$ を $0$ に等しくし、 $u$ を解きます。

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ステップ 4.1

$3 u + 1$ が $0$ に等しいとします。

$3 u + 1 = 0$

ステップ 4.2

$u$ について $3 u + 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 4.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$3 u = - 1$

ステップ 4.2.2

$3 u = - 1$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

$3 u = - 1$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 u}{3} = \frac{- 1}{3}$

ステップ 4.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.2.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 u}{3} = \frac{- 1}{3}$

ステップ 4.2.2.2.1.2

$u$ を $1$ で割ります。

$u = \frac{- 1}{3}$

ステップ 4.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.2.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$u = - \frac{1}{3}$

ステップ 5

$9 u + 4$ を $0$ に等しくし、 $u$ を解きます。

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ステップ 5.1

$9 u + 4$ が $0$ に等しいとします。

$9 u + 4 = 0$

ステップ 5.2

$u$ について $9 u + 4 = 0$ を解きます。

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ステップ 5.2.1

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$9 u = - 4$

ステップ 5.2.2

$9 u = - 4$ の各項を $9$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

$9 u = - 4$ の各項を $9$ で割ります。

$\frac{9 u}{9} = \frac{- 4}{9}$

ステップ 5.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.2.2.1

$9$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{9 u}{9} = \frac{- 4}{9}$

ステップ 5.2.2.2.1.2

$u$ を $1$ で割ります。

$u = \frac{- 4}{9}$

ステップ 5.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.2.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$u = - \frac{4}{9}$

ステップ 6

最終解は $(3 u + 1) (9 u + 4) = 0$ を真にするすべての値です。

$u = - \frac{1}{3}, - \frac{4}{9}$

ステップ 7

$u = x^{2}$ の実数を解いた方程式に代入して戻します。

$x^{2} = - \frac{1}{3}$

${(x^{2})}^{1} = - \frac{4}{9}$

ステップ 8

$x$ について第1方程式を解きます。

$x^{2} = - \frac{1}{3}$

ステップ 9

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 9.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- \frac{1}{3}}$

ステップ 9.2

$\pm \sqrt{- \frac{1}{3}}$ を簡約します。

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ステップ 9.2.1

$- \frac{1}{3}$ を $i^{2} \frac{1^{2}}{3}$ に書き換えます。

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ステップ 9.2.1.1

$- 1$ を $i^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1}{3}}$

ステップ 9.2.1.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2}}{3}}$

ステップ 9.2.2

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm i \sqrt{\frac{1^{2}}{3}}$

ステップ 9.2.3

1のすべての数の累乗は1です。

$x = \pm i \sqrt{\frac{1}{3}}$

ステップ 9.2.4

$\sqrt{\frac{1}{3}}$ を $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ に書き換えます。

$x = \pm i \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

ステップ 9.2.5

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$x = \pm i \frac{1}{\sqrt{3}}$

ステップ 9.2.6

$\frac{1}{\sqrt{3}}$ に $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ をかけます。

$x = \pm i (\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

ステップ 9.2.7

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 9.2.7.1

$\frac{1}{\sqrt{3}}$ に $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ をかけます。

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

ステップ 9.2.7.2

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

ステップ 9.2.7.3

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

ステップ 9.2.7.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

ステップ 9.2.7.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

ステップ 9.2.7.6

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

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ステップ 9.2.7.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 9.2.7.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 9.2.7.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 9.2.7.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.2.7.6.4.1

共通因数を約分します。

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 9.2.7.6.4.2

式を書き換えます。

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

ステップ 9.2.7.6.5

指数を求めます。

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3}$

ステップ 9.2.8

$i$ と $\frac{\sqrt{3}}{3}$ をまとめます。

$x = \pm \frac{i \sqrt{3}}{3}$

ステップ 9.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 9.3.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \frac{i \sqrt{3}}{3}$

ステップ 9.3.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \frac{i \sqrt{3}}{3}$

ステップ 9.3.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \frac{i \sqrt{3}}{3}, - \frac{i \sqrt{3}}{3}$

ステップ 10

$x$ について二次方程式を解きます。

${(x^{2})}^{1} = - \frac{4}{9}$

ステップ 11

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 11.1

括弧を削除します。

$x^{2} = - \frac{4}{9}$

ステップ 11.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- \frac{4}{9}}$

ステップ 11.3

$\pm \sqrt{- \frac{4}{9}}$ を簡約します。

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ステップ 11.3.1

$- \frac{4}{9}$ を ${(\frac{2 i}{3})}^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{{(\frac{2 i}{3})}^{2}}$

ステップ 11.3.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm \frac{2 i}{3}$

ステップ 11.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 11.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \frac{2 i}{3}$

ステップ 11.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \frac{2 i}{3}$

ステップ 11.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \frac{2 i}{3}, - \frac{2 i}{3}$

ステップ 12

$27 x^{4} + 21 x^{2} + 4 = 0$ の解は $x = \frac{i \sqrt{3}}{3}, - \frac{i \sqrt{3}}{3}, \frac{2 i}{3}, - \frac{2 i}{3}$ です。

$x = \frac{i \sqrt{3}}{3}, - \frac{i \sqrt{3}}{3}, \frac{2 i}{3}, - \frac{2 i}{3}$

有限数学 例

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