有限数学例

$8 \cdot 2^{x} = 81 \cdot 3^{x - 1}$

ステップ 1

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (8 \cdot 2^{x}) = \ln (81 \cdot 3^{x - 1})$

ステップ 2

左辺を展開します。

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ステップ 2.1

$\ln (8 \cdot 2^{x})$ を $\ln (8) + \ln (2^{x})$ に書き換えます。

$\ln (8) + \ln (2^{x}) = \ln (81 \cdot 3^{x - 1})$

ステップ 2.2

$x$ を対数の外に移動させて、 $\ln (2^{x})$ を展開します。

$\ln (8) + x \ln (2) = \ln (81 \cdot 3^{x - 1})$

ステップ 3

右辺を展開します。

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ステップ 3.1

$\ln (81 \cdot 3^{x - 1})$ を $\ln (81) + \ln (3^{x - 1})$ に書き換えます。

$\ln (8) + x \ln (2) = \ln (81) + \ln (3^{x - 1})$

ステップ 3.2

$x - 1$ を対数の外に移動させて、 $\ln (3^{x - 1})$ を展開します。

$\ln (8) + x \ln (2) = \ln (81) + (x - 1) \ln (3)$

ステップ 4

右辺を簡約します。

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ステップ 4.1

$\ln (81) + (x - 1) \ln (3)$ を簡約します。

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ステップ 4.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.1.1

分配則を当てはめます。

$\ln (8) + x \ln (2) = \ln (81) + x \ln (3) - 1 \ln (3)$

ステップ 4.1.1.2

$- 1 \ln (3)$ を $- \ln (3)$ に書き換えます。

$\ln (8) + x \ln (2) = \ln (81) + x \ln (3) - \ln (3)$

ステップ 4.1.2

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\ln (8) + x \ln (2) = x \ln (3) + \ln (\frac{81}{3})$

ステップ 4.1.3

$81$ を $3$ で割ります。

$\ln (8) + x \ln (2) = x \ln (3) + \ln (27)$

ステップ 5

$\ln (8)$ と $x \ln (2)$ を並べ替えます。

$x \ln (2) + \ln (8) = x \ln (3) + \ln (27)$

ステップ 6

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$x \ln (2) + \ln (8) - x \ln (3) - \ln (27) = 0$

ステップ 7

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$x \ln (2) - x \ln (3) + \ln (\frac{8}{27}) = 0$

ステップ 8

方程式の両辺から $\ln (\frac{8}{27})$ を引きます。

$x \ln (2) - x \ln (3) = - \ln (\frac{8}{27})$

ステップ 9

$x$ を $x \ln (2) - x \ln (3)$ で因数分解します。

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ステップ 9.1

$x$ を $x \ln (2)$ で因数分解します。

$x (\ln (2)) - x \ln (3) = - \ln (\frac{8}{27})$

ステップ 9.2

$x$ を $- x \ln (3)$ で因数分解します。

$x (\ln (2)) + x (- 1 \ln (3)) = - \ln (\frac{8}{27})$

ステップ 9.3

$x$ を $x (\ln (2)) + x (- 1 \ln (3))$ で因数分解します。

$x (\ln (2) - 1 \ln (3)) = - \ln (\frac{8}{27})$

ステップ 10

$- 1 \ln (3)$ を $- \ln (3)$ に書き換えます。

$x (\ln (2) - \ln (3)) = - \ln (\frac{8}{27})$

ステップ 11

$x (\ln (2) - \ln (3)) = - \ln (\frac{8}{27})$ の各項を $\ln (2) - \ln (3)$ で割り、簡約します。

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ステップ 11.1

$x (\ln (2) - \ln (3)) = - \ln (\frac{8}{27})$ の各項を $\ln (2) - \ln (3)$ で割ります。

$\frac{x (\ln (2) - \ln (3))}{\ln (2) - \ln (3)} = \frac{- \ln (\frac{8}{27})}{\ln (2) - \ln (3)}$

ステップ 11.2

左辺を簡約します。

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ステップ 11.2.1

$\ln (2) - \ln (3)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 11.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x (\ln (2) - \ln (3))}{\ln (2) - \ln (3)} = \frac{- \ln (\frac{8}{27})}{\ln (2) - \ln (3)}$

ステップ 11.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- \ln (\frac{8}{27})}{\ln (2) - \ln (3)}$

ステップ 11.3

右辺を簡約します。

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ステップ 11.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{\ln (\frac{8}{27})}{\ln (2) - \ln (3)}$

ステップ 12

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$x = - \frac{\ln (\frac{8}{27})}{\ln (2) - \ln (3)}$

10進法形式：

$x = - 3$

有限数学 例

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