有限数学例

$(2 x - 5) (x - 2) (x + 4) (2 x + 7) = 91$

ステップ 1

$(2 x - 5) (x - 2) (x + 4) (2 x + 7)$ を簡約します。

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ステップ 1.1

分配法則（FOIL法）を使って $(2 x - 5) (x - 2)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

分配則を当てはめます。

$(2 x (x - 2) - 5 (x - 2)) (x + 4) (2 x + 7) = 91$

ステップ 1.1.2

分配則を当てはめます。

$(2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 - 5 (x - 2)) (x + 4) (2 x + 7) = 91$

ステップ 1.1.3

分配則を当てはめます。

$(2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 - 5 x - 5 \cdot - 2) (x + 4) (2 x + 7) = 91$

ステップ 1.2

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1.1

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1.1.1

$x$ を移動させます。

$(2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 2 - 5 x - 5 \cdot - 2) (x + 4) (2 x + 7) = 91$

ステップ 1.2.1.1.2

$x$ に $x$ をかけます。

$(2 x^{2} + 2 x \cdot - 2 - 5 x - 5 \cdot - 2) (x + 4) (2 x + 7) = 91$

ステップ 1.2.1.2

$- 2$ に $2$ をかけます。

$(2 x^{2} - 4 x - 5 x - 5 \cdot - 2) (x + 4) (2 x + 7) = 91$

ステップ 1.2.1.3

$- 5$ に $- 2$ をかけます。

$(2 x^{2} - 4 x - 5 x + 10) (x + 4) (2 x + 7) = 91$

ステップ 1.2.2

$- 4 x$ から $5 x$ を引きます。

$(2 x^{2} - 9 x + 10) (x + 4) (2 x + 7) = 91$

ステップ 1.3

1番目の式の各項に2番目の式の各項を掛け、 $(2 x^{2} - 9 x + 10) (x + 4)$ を展開します。

$(2 x^{2} x + 2 x^{2} \cdot 4 - 9 x \cdot x - 9 x \cdot 4 + 10 x + 10 \cdot 4) (2 x + 7) = 91$

ステップ 1.4

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.1

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.1.1

$x$ を移動させます。

$(2 (x \cdot x^{2}) + 2 x^{2} \cdot 4 - 9 x \cdot x - 9 x \cdot 4 + 10 x + 10 \cdot 4) (2 x + 7) = 91$

ステップ 1.4.1.1.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$(2 (x^{1} x^{2}) + 2 x^{2} \cdot 4 - 9 x \cdot x - 9 x \cdot 4 + 10 x + 10 \cdot 4) (2 x + 7) = 91$

ステップ 1.4.1.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$(2 x^{1 + 2} + 2 x^{2} \cdot 4 - 9 x \cdot x - 9 x \cdot 4 + 10 x + 10 \cdot 4) (2 x + 7) = 91$

ステップ 1.4.1.1.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$(2 x^{3} + 2 x^{2} \cdot 4 - 9 x \cdot x - 9 x \cdot 4 + 10 x + 10 \cdot 4) (2 x + 7) = 91$

ステップ 1.4.1.2

$4$ に $2$ をかけます。

$(2 x^{3} + 8 x^{2} - 9 x \cdot x - 9 x \cdot 4 + 10 x + 10 \cdot 4) (2 x + 7) = 91$

ステップ 1.4.1.3

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.3.1

$x$ を移動させます。

$(2 x^{3} + 8 x^{2} - 9 (x \cdot x) - 9 x \cdot 4 + 10 x + 10 \cdot 4) (2 x + 7) = 91$

ステップ 1.4.1.3.2

$x$ に $x$ をかけます。

$(2 x^{3} + 8 x^{2} - 9 x^{2} - 9 x \cdot 4 + 10 x + 10 \cdot 4) (2 x + 7) = 91$

ステップ 1.4.1.4

$4$ に $- 9$ をかけます。

$(2 x^{3} + 8 x^{2} - 9 x^{2} - 36 x + 10 x + 10 \cdot 4) (2 x + 7) = 91$

ステップ 1.4.1.5

$10$ に $4$ をかけます。

$(2 x^{3} + 8 x^{2} - 9 x^{2} - 36 x + 10 x + 40) (2 x + 7) = 91$

ステップ 1.4.2

項を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.1

$8 x^{2}$ から $9 x^{2}$ を引きます。

$(2 x^{3} - x^{2} - 36 x + 10 x + 40) (2 x + 7) = 91$

ステップ 1.4.2.2

$- 36 x$ と $10 x$ をたし算します。

$(2 x^{3} - x^{2} - 26 x + 40) (2 x + 7) = 91$

ステップ 1.5

1番目の式の各項に2番目の式の各項を掛け、 $(2 x^{3} - x^{2} - 26 x + 40) (2 x + 7)$ を展開します。

$2 x^{3} (2 x) + 2 x^{3} \cdot 7 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 7 - 26 x (2 x) - 26 x \cdot 7 + 40 (2 x) + 40 \cdot 7 = 91$

ステップ 1.6

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$2 \cdot 2 x^{3} x + 2 x^{3} \cdot 7 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 7 - 26 x (2 x) - 26 x \cdot 7 + 40 (2 x) + 40 \cdot 7 = 91$

ステップ 1.6.1.2

指数を足して $x^{3}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.1.2.1

$x$ を移動させます。

$2 \cdot 2 (x \cdot x^{3}) + 2 x^{3} \cdot 7 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 7 - 26 x (2 x) - 26 x \cdot 7 + 40 (2 x) + 40 \cdot 7 = 91$

ステップ 1.6.1.2.2

$x$ に $x^{3}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.1.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$2 \cdot 2 (x^{1} x^{3}) + 2 x^{3} \cdot 7 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 7 - 26 x (2 x) - 26 x \cdot 7 + 40 (2 x) + 40 \cdot 7 = 91$

ステップ 1.6.1.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 \cdot 2 x^{1 + 3} + 2 x^{3} \cdot 7 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 7 - 26 x (2 x) - 26 x \cdot 7 + 40 (2 x) + 40 \cdot 7 = 91$

ステップ 1.6.1.2.3

$1$ と $3$ をたし算します。

$2 \cdot 2 x^{4} + 2 x^{3} \cdot 7 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 7 - 26 x (2 x) - 26 x \cdot 7 + 40 (2 x) + 40 \cdot 7 = 91$

ステップ 1.6.1.3

$2$ に $2$ をかけます。

$4 x^{4} + 2 x^{3} \cdot 7 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 7 - 26 x (2 x) - 26 x \cdot 7 + 40 (2 x) + 40 \cdot 7 = 91$

ステップ 1.6.1.4

$7$ に $2$ をかけます。

$4 x^{4} + 14 x^{3} - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 7 - 26 x (2 x) - 26 x \cdot 7 + 40 (2 x) + 40 \cdot 7 = 91$

ステップ 1.6.1.5

積の可換性を利用して書き換えます。

$4 x^{4} + 14 x^{3} - 1 \cdot 2 x^{2} x - x^{2} \cdot 7 - 26 x (2 x) - 26 x \cdot 7 + 40 (2 x) + 40 \cdot 7 = 91$

ステップ 1.6.1.6

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.1.6.1

$x$ を移動させます。

$4 x^{4} + 14 x^{3} - 1 \cdot 2 (x \cdot x^{2}) - x^{2} \cdot 7 - 26 x (2 x) - 26 x \cdot 7 + 40 (2 x) + 40 \cdot 7 = 91$

ステップ 1.6.1.6.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.1.6.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$4 x^{4} + 14 x^{3} - 1 \cdot 2 (x^{1} x^{2}) - x^{2} \cdot 7 - 26 x (2 x) - 26 x \cdot 7 + 40 (2 x) + 40 \cdot 7 = 91$

ステップ 1.6.1.6.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$4 x^{4} + 14 x^{3} - 1 \cdot 2 x^{1 + 2} - x^{2} \cdot 7 - 26 x (2 x) - 26 x \cdot 7 + 40 (2 x) + 40 \cdot 7 = 91$

ステップ 1.6.1.6.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$4 x^{4} + 14 x^{3} - 1 \cdot 2 x^{3} - x^{2} \cdot 7 - 26 x (2 x) - 26 x \cdot 7 + 40 (2 x) + 40 \cdot 7 = 91$

ステップ 1.6.1.7

$- 1$ に $2$ をかけます。

$4 x^{4} + 14 x^{3} - 2 x^{3} - x^{2} \cdot 7 - 26 x (2 x) - 26 x \cdot 7 + 40 (2 x) + 40 \cdot 7 = 91$

ステップ 1.6.1.8

$7$ に $- 1$ をかけます。

$4 x^{4} + 14 x^{3} - 2 x^{3} - 7 x^{2} - 26 x (2 x) - 26 x \cdot 7 + 40 (2 x) + 40 \cdot 7 = 91$

ステップ 1.6.1.9

積の可換性を利用して書き換えます。

$4 x^{4} + 14 x^{3} - 2 x^{3} - 7 x^{2} - 26 \cdot 2 x \cdot x - 26 x \cdot 7 + 40 (2 x) + 40 \cdot 7 = 91$

ステップ 1.6.1.10

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.1.10.1

$x$ を移動させます。

$4 x^{4} + 14 x^{3} - 2 x^{3} - 7 x^{2} - 26 \cdot 2 (x \cdot x) - 26 x \cdot 7 + 40 (2 x) + 40 \cdot 7 = 91$

ステップ 1.6.1.10.2

$x$ に $x$ をかけます。

$4 x^{4} + 14 x^{3} - 2 x^{3} - 7 x^{2} - 26 \cdot 2 x^{2} - 26 x \cdot 7 + 40 (2 x) + 40 \cdot 7 = 91$

ステップ 1.6.1.11

$- 26$ に $2$ をかけます。

$4 x^{4} + 14 x^{3} - 2 x^{3} - 7 x^{2} - 52 x^{2} - 26 x \cdot 7 + 40 (2 x) + 40 \cdot 7 = 91$

ステップ 1.6.1.12

$7$ に $- 26$ をかけます。

$4 x^{4} + 14 x^{3} - 2 x^{3} - 7 x^{2} - 52 x^{2} - 182 x + 40 (2 x) + 40 \cdot 7 = 91$

ステップ 1.6.1.13

$2$ に $40$ をかけます。

$4 x^{4} + 14 x^{3} - 2 x^{3} - 7 x^{2} - 52 x^{2} - 182 x + 80 x + 40 \cdot 7 = 91$

ステップ 1.6.1.14

$40$ に $7$ をかけます。

$4 x^{4} + 14 x^{3} - 2 x^{3} - 7 x^{2} - 52 x^{2} - 182 x + 80 x + 280 = 91$

ステップ 1.6.2

項を加えて簡約します。

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ステップ 1.6.2.1

$14 x^{3}$ から $2 x^{3}$ を引きます。

$4 x^{4} + 12 x^{3} - 7 x^{2} - 52 x^{2} - 182 x + 80 x + 280 = 91$

ステップ 1.6.2.2

$- 7 x^{2}$ から $52 x^{2}$ を引きます。

$4 x^{4} + 12 x^{3} - 59 x^{2} - 182 x + 80 x + 280 = 91$

ステップ 1.6.2.3

$- 182 x$ と $80 x$ をたし算します。

$4 x^{4} + 12 x^{3} - 59 x^{2} - 102 x + 280 = 91$

ステップ 2

方程式の両辺から $91$ を引きます。

$4 x^{4} + 12 x^{3} - 59 x^{2} - 102 x + 280 - 91 = 0$

ステップ 3

$280$ から $91$ を引きます。

$4 x^{4} + 12 x^{3} - 59 x^{2} - 102 x + 189 = 0$

ステップ 4

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 4.1

有理根検定を用いて $4 x^{4} + 12 x^{3} - 59 x^{2} - 102 x + 189$ を因数分解します。

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ステップ 4.1.1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 189, \pm 3, \pm 63, \pm 7, \pm 27, \pm 9, \pm 21$

$q = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

ステップ 4.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 0.25, \pm 0.5, \pm 189, \pm 47.25, \pm 94.5, \pm 3, \pm 0.75, \pm 1.5, \pm 63, \pm 15.75, \pm 31.5, \pm 7, \pm 1.75, \pm 3.5, \pm 27, \pm 6.75, \pm 13.5, \pm 9, \pm 2.25, \pm 4.5, \pm 21, \pm 5.25, \pm 10.5$

ステップ 4.1.3

$3$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しいので、 $3$ は多項式の根です。

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ステップ 4.1.3.1

$3$ を多項式に代入します。

$4 \cdot 3^{4} + 12 \cdot 3^{3} - 59 \cdot 3^{2} - 102 \cdot 3 + 189$

ステップ 4.1.3.2

$3$ を $4$ 乗します。

$4 \cdot 81 + 12 \cdot 3^{3} - 59 \cdot 3^{2} - 102 \cdot 3 + 189$

ステップ 4.1.3.3

$4$ に $81$ をかけます。

$324 + 12 \cdot 3^{3} - 59 \cdot 3^{2} - 102 \cdot 3 + 189$

ステップ 4.1.3.4

$3$ を $3$ 乗します。

$324 + 12 \cdot 27 - 59 \cdot 3^{2} - 102 \cdot 3 + 189$

ステップ 4.1.3.5

$12$ に $27$ をかけます。

$324 + 324 - 59 \cdot 3^{2} - 102 \cdot 3 + 189$

ステップ 4.1.3.6

$324$ と $324$ をたし算します。

$648 - 59 \cdot 3^{2} - 102 \cdot 3 + 189$

ステップ 4.1.3.7

$3$ を $2$ 乗します。

$648 - 59 \cdot 9 - 102 \cdot 3 + 189$

ステップ 4.1.3.8

$- 59$ に $9$ をかけます。

$648 - 531 - 102 \cdot 3 + 189$

ステップ 4.1.3.9

$648$ から $531$ を引きます。

$117 - 102 \cdot 3 + 189$

ステップ 4.1.3.10

$- 102$ に $3$ をかけます。

$117 - 306 + 189$

ステップ 4.1.3.11

$117$ から $306$ を引きます。

$- 189 + 189$

ステップ 4.1.3.12

$- 189$ と $189$ をたし算します。

$0$

ステップ 4.1.4

$3$ は既知の根なので、多項式を $x - 3$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{4 x^{4} + 12 x^{3} - 59 x^{2} - 102 x + 189}{x - 3}$

ステップ 4.1.5

$4 x^{4} + 12 x^{3} - 59 x^{2} - 102 x + 189$ を $x - 3$ で割ります。

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ステップ 4.1.5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x$

$3$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$59 x^{2}$

$102 x$

$189$

ステップ 4.1.5.2

被除数 $4 x^{4}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

$4 x^{3}$

$x$

$3$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$59 x^{2}$

$102 x$

$189$

ステップ 4.1.5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

$4 x^{3}$

$x$

$3$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$59 x^{2}$

$102 x$

$189$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

ステップ 4.1.5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $4 x^{4} - 12 x^{3}$ の符号をすべて変更します。

$4 x^{3}$

$x$

$3$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$59 x^{2}$

$102 x$

$189$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

ステップ 4.1.5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

$4 x^{3}$

$x$

$3$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$59 x^{2}$

$102 x$

$189$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$24 x^{3}$

ステップ 4.1.5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

$4 x^{3}$

$x$

$3$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$59 x^{2}$

$102 x$

$189$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$24 x^{3}$

$59 x^{2}$

ステップ 4.1.5.7

被除数 $24 x^{3}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

$4 x^{3}$

$24 x^{2}$

$x$

$3$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$59 x^{2}$

$102 x$

$189$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$24 x^{3}$

$59 x^{2}$

ステップ 4.1.5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

$4 x^{3}$

$24 x^{2}$

$x$

$3$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$59 x^{2}$

$102 x$

$189$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$24 x^{3}$

$59 x^{2}$

$24 x^{3}$

$72 x^{2}$

ステップ 4.1.5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $24 x^{3} - 72 x^{2}$ の符号をすべて変更します。

$4 x^{3}$

$24 x^{2}$

$x$

$3$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$59 x^{2}$

$102 x$

$189$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$24 x^{3}$

$59 x^{2}$

$24 x^{3}$

$72 x^{2}$

ステップ 4.1.5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

$4 x^{3}$

$24 x^{2}$

$x$

$3$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$59 x^{2}$

$102 x$

$189$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$24 x^{3}$

$59 x^{2}$

$24 x^{3}$

$72 x^{2}$

$13 x^{2}$

ステップ 4.1.5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

$4 x^{3}$

$24 x^{2}$

$x$

$3$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$59 x^{2}$

$102 x$

$189$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$24 x^{3}$

$59 x^{2}$

$24 x^{3}$

$72 x^{2}$

$13 x^{2}$

$102 x$

ステップ 4.1.5.12

被除数 $13 x^{2}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

$4 x^{3}$

$24 x^{2}$

$13 x$

$x$

$3$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$59 x^{2}$

$102 x$

$189$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$24 x^{3}$

$59 x^{2}$

$24 x^{3}$

$72 x^{2}$

$13 x^{2}$

$102 x$

ステップ 4.1.5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

$4 x^{3}$

$24 x^{2}$

$13 x$

$x$

$3$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$59 x^{2}$

$102 x$

$189$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$24 x^{3}$

$59 x^{2}$

$24 x^{3}$

$72 x^{2}$

$13 x^{2}$

$102 x$

$13 x^{2}$

$39 x$

ステップ 4.1.5.14

式は被除数から引く必要があるので、 $13 x^{2} - 39 x$ の符号をすべて変更します。

$4 x^{3}$

$24 x^{2}$

$13 x$

$x$

$3$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$59 x^{2}$

$102 x$

$189$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$24 x^{3}$

$59 x^{2}$

$24 x^{3}$

$72 x^{2}$

$13 x^{2}$

$102 x$

$13 x^{2}$

$39 x$

ステップ 4.1.5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

$4 x^{3}$

$24 x^{2}$

$13 x$

$x$

$3$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$59 x^{2}$

$102 x$

$189$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$24 x^{3}$

$59 x^{2}$

$24 x^{3}$

$72 x^{2}$

$13 x^{2}$

$102 x$

$13 x^{2}$

$39 x$

$63 x$

ステップ 4.1.5.16

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

$4 x^{3}$

$24 x^{2}$

$13 x$

$x$

$3$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$59 x^{2}$

$102 x$

$189$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$24 x^{3}$

$59 x^{2}$

$24 x^{3}$

$72 x^{2}$

$13 x^{2}$

$102 x$

$13 x^{2}$

$39 x$

$63 x$

$189$

ステップ 4.1.5.17

被除数 $- 63 x$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

$4 x^{3}$

$24 x^{2}$

$13 x$

$63$

$x$

$3$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$59 x^{2}$

$102 x$

$189$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$24 x^{3}$

$59 x^{2}$

$24 x^{3}$

$72 x^{2}$

$13 x^{2}$

$102 x$

$13 x^{2}$

$39 x$

$63 x$

$189$

ステップ 4.1.5.18

新しい商の項に除数を掛けます。

$4 x^{3}$

$24 x^{2}$

$13 x$

$63$

$x$

$3$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$59 x^{2}$

$102 x$

$189$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$24 x^{3}$

$59 x^{2}$

$24 x^{3}$

$72 x^{2}$

$13 x^{2}$

$102 x$

$13 x^{2}$

$39 x$

$63 x$

$189$

$63 x$

$189$

ステップ 4.1.5.19

式は被除数から引く必要があるので、 $- 63 x + 189$ の符号をすべて変更します。

$4 x^{3}$

$24 x^{2}$

$13 x$

$63$

$x$

$3$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$59 x^{2}$

$102 x$

$189$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$24 x^{3}$

$59 x^{2}$

$24 x^{3}$

$72 x^{2}$

$13 x^{2}$

$102 x$

$13 x^{2}$

$39 x$

$63 x$

$189$

$63 x$

$189$

ステップ 4.1.5.20

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

$4 x^{3}$

$24 x^{2}$

$13 x$

$63$

$x$

$3$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$59 x^{2}$

$102 x$

$189$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$24 x^{3}$

$59 x^{2}$

$24 x^{3}$

$72 x^{2}$

$13 x^{2}$

$102 x$

$13 x^{2}$

$39 x$

$63 x$

$189$

$63 x$

$189$

$0$

ステップ 4.1.5.21

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$4 x^{3} + 24 x^{2} + 13 x - 63$

ステップ 4.1.6

$4 x^{4} + 12 x^{3} - 59 x^{2} - 102 x + 189$ を因数の集合として書き換えます。

$(x - 3) (4 x^{3} + 24 x^{2} + 13 x - 63) = 0$

ステップ 4.2

有理根検定を用いて $4 x^{3} + 24 x^{2} + 13 x - 63$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

有理根検定を用いて $4 x^{3} + 24 x^{2} + 13 x - 63$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 63, \pm 3, \pm 21, \pm 7, \pm 9$

$q = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

ステップ 4.2.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 0.25, \pm 0.5, \pm 63, \pm 15.75, \pm 31.5, \pm 3, \pm 0.75, \pm 1.5, \pm 21, \pm 5.25, \pm 10.5, \pm 7, \pm 1.75, \pm 3.5, \pm 9, \pm 2.25, \pm 4.5$

ステップ 4.2.1.3

$- 4.5$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しいので、 $- 4.5$ は多項式の根です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.3.1

$- 4.5$ を多項式に代入します。

$4 {(- 4.5)}^{3} + 24 {(- 4.5)}^{2} + 13 \cdot - 4.5 - 63$

ステップ 4.2.1.3.2

$- 4.5$ を $3$ 乗します。

$4 \cdot - 91.125 + 24 {(- 4.5)}^{2} + 13 \cdot - 4.5 - 63$

ステップ 4.2.1.3.3

$4$ に $- 91.125$ をかけます。

$- 364.5 + 24 {(- 4.5)}^{2} + 13 \cdot - 4.5 - 63$

ステップ 4.2.1.3.4

$- 4.5$ を $2$ 乗します。

$- 364.5 + 24 \cdot 20.25 + 13 \cdot - 4.5 - 63$

ステップ 4.2.1.3.5

$24$ に $20.25$ をかけます。

$- 364.5 + 486 + 13 \cdot - 4.5 - 63$

ステップ 4.2.1.3.6

$- 364.5$ と $486$ をたし算します。

$121.5 + 13 \cdot - 4.5 - 63$

ステップ 4.2.1.3.7

$13$ に $- 4.5$ をかけます。

$121.5 - 58.5 - 63$

ステップ 4.2.1.3.8

$121.5$ から $58.5$ を引きます。

$63 - 63$

ステップ 4.2.1.3.9

$63$ から $63$ を引きます。

$0$

ステップ 4.2.1.4

$- 4.5$ は既知の根なので、多項式を $2 x + 9$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{4 x^{3} + 24 x^{2} + 13 x - 63}{2 x + 9}$

ステップ 4.2.1.5

$4 x^{3} + 24 x^{2} + 13 x - 63$ を $2 x + 9$ で割ります。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$2 x$

$9$

$4 x^{3}$

$24 x^{2}$

$13 x$

$63$

ステップ 4.2.1.5.2

被除数 $4 x^{3}$ の最高次項を除数 $2 x$ の最高次項で割ります。

					$2 x^{2}$
	$2 x$	+	$9$		$4 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$13 x$	-	$63$

ステップ 4.2.1.5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$2 x^{2}$
$2 x$	+	$9$		$4 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$13 x$	-	$63$
			+	$4 x^{3}$	+	$18 x^{2}$

ステップ 4.2.1.5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $4 x^{3} + 18 x^{2}$ の符号をすべて変更します。

				$2 x^{2}$
$2 x$	+	$9$		$4 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$13 x$	-	$63$
			-	$4 x^{3}$	-	$18 x^{2}$

ステップ 4.2.1.5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$2 x^{2}$
$2 x$	+	$9$		$4 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$13 x$	-	$63$
			-	$4 x^{3}$	-	$18 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$

ステップ 4.2.1.5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$2 x^{2}$
$2 x$	+	$9$		$4 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$13 x$	-	$63$
			-	$4 x^{3}$	-	$18 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$13 x$

ステップ 4.2.1.5.7

被除数 $6 x^{2}$ の最高次項を除数 $2 x$ の最高次項で割ります。

				$2 x^{2}$	+	$3 x$
$2 x$	+	$9$		$4 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$13 x$	-	$63$
			-	$4 x^{3}$	-	$18 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$13 x$

ステップ 4.2.1.5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

				$2 x^{2}$	+	$3 x$
$2 x$	+	$9$		$4 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$13 x$	-	$63$
			-	$4 x^{3}$	-	$18 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$13 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$27 x$

ステップ 4.2.1.5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $6 x^{2} + 27 x$ の符号をすべて変更します。

				$2 x^{2}$	+	$3 x$
$2 x$	+	$9$		$4 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$13 x$	-	$63$
			-	$4 x^{3}$	-	$18 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$6 x^{2}$	-	$27 x$

ステップ 4.2.1.5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$2 x^{2}$	+	$3 x$
$2 x$	+	$9$		$4 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$13 x$	-	$63$
			-	$4 x^{3}$	-	$18 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$6 x^{2}$	-	$27 x$
							-	$14 x$

ステップ 4.2.1.5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$2 x^{2}$	+	$3 x$
$2 x$	+	$9$		$4 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$13 x$	-	$63$
			-	$4 x^{3}$	-	$18 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$6 x^{2}$	-	$27 x$
							-	$14 x$	-	$63$

ステップ 4.2.1.5.12

被除数 $- 14 x$ の最高次項を除数 $2 x$ の最高次項で割ります。

				$2 x^{2}$	+	$3 x$	-	$7$
$2 x$	+	$9$		$4 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$13 x$	-	$63$
			-	$4 x^{3}$	-	$18 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$6 x^{2}$	-	$27 x$
							-	$14 x$	-	$63$

ステップ 4.2.1.5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

				$2 x^{2}$	+	$3 x$	-	$7$
$2 x$	+	$9$		$4 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$13 x$	-	$63$
			-	$4 x^{3}$	-	$18 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$6 x^{2}$	-	$27 x$
							-	$14 x$	-	$63$
							-	$14 x$	-	$63$

ステップ 4.2.1.5.14

式は被除数から引く必要があるので、 $- 14 x - 63$ の符号をすべて変更します。

				$2 x^{2}$	+	$3 x$	-	$7$
$2 x$	+	$9$		$4 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$13 x$	-	$63$
			-	$4 x^{3}$	-	$18 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$6 x^{2}$	-	$27 x$
							-	$14 x$	-	$63$
							+	$14 x$	+	$63$

ステップ 4.2.1.5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$2 x^{2}$	+	$3 x$	-	$7$
$2 x$	+	$9$		$4 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$13 x$	-	$63$
			-	$4 x^{3}$	-	$18 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$6 x^{2}$	-	$27 x$
							-	$14 x$	-	$63$
							+	$14 x$	+	$63$
										$0$

ステップ 4.2.1.5.16

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$2 x^{2} + 3 x - 7$

ステップ 4.2.1.6

$4 x^{3} + 24 x^{2} + 13 x - 63$ を因数の集合として書き換えます。

$(x - 3) ((2 x + 9) (2 x^{2} + 3 x - 7)) = 0$

ステップ 4.2.2

不要な括弧を削除します。

$(x - 3) (2 x + 9) (2 x^{2} + 3 x - 7) = 0$

ステップ 5

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 3 = 0$

$2 x + 9 = 0$

$2 x^{2} + 3 x - 7 = 0$

ステップ 6

$x - 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$x - 3$ が $0$ に等しいとします。

$x - 3 = 0$

ステップ 6.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x = 3$

ステップ 7

$2 x + 9$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$2 x + 9$ が $0$ に等しいとします。

$2 x + 9 = 0$

ステップ 7.2

$x$ について $2 x + 9 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

方程式の両辺から $9$ を引きます。

$2 x = - 9$

ステップ 7.2.2

$2 x = - 9$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1

$2 x = - 9$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 9}{2}$

ステップ 7.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 9}{2}$

ステップ 7.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 9}{2}$

ステップ 7.2.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{9}{2}$

ステップ 8

$2 x^{2} + 3 x - 7$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

$2 x^{2} + 3 x - 7$ が $0$ に等しいとします。

$2 x^{2} + 3 x - 7 = 0$

ステップ 8.2

$x$ について $2 x^{2} + 3 x - 7 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 8.2.2

$a = 2$ 、 $b = 3$ 、および $c = - 7$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 7)}}{2 \cdot 2}$

ステップ 8.2.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.3.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.3.1.1

$3$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot - 7}}{2 \cdot 2}$

ステップ 8.2.3.1.2

$- 4 \cdot 2 \cdot - 7$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.3.1.2.1

$- 4$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot - 7}}{2 \cdot 2}$

ステップ 8.2.3.1.2.2

$- 8$ に $- 7$ をかけます。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 56}}{2 \cdot 2}$

ステップ 8.2.3.1.3

$9$ と $56$ をたし算します。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{65}}{2 \cdot 2}$

ステップ 8.2.3.2

$2$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{65}}{4}$

ステップ 8.2.4

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = - \frac{3 - \sqrt{65}}{4}, - \frac{3 + \sqrt{65}}{4}$

ステップ 9

最終解は $(x - 3) (2 x + 9) (2 x^{2} + 3 x - 7) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 3, - \frac{9}{2}, - \frac{3 - \sqrt{65}}{4}, - \frac{3 + \sqrt{65}}{4}$

ステップ 10

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$x = 3, - \frac{9}{2}, - \frac{3 - \sqrt{65}}{4}, - \frac{3 + \sqrt{65}}{4}$

10進法形式：

$x = 3, - 4.5, 1.26556443 \dots, - 2.76556443 \dots$

帯分数形：

$x = 3, - 4 \frac{1}{2}, - \frac{3 - \sqrt{65}}{4}, - \frac{3 + \sqrt{65}}{4}$

有限数学 例

有限数学例