有限数学例

$2^{2 x} + 128 = 24 \cdot 2^{x}$

ステップ 1

方程式の両辺から $24 \cdot 2^{x}$ を引きます。

$2^{2 x} + 128 - 24 \cdot 2^{x} = 0$

ステップ 2

$2^{2 x}$ を累乗法として書き換えます。

${(2^{x})}^{2} + 128 - 24 \cdot 2^{x} = 0$

ステップ 3

$u$ を $2^{x}$ に代入します。

$u^{2} + 128 - 24 u = 0$

ステップ 4

$128$ を移動させます。

$u^{2} - 24 u + 128 = 0$

ステップ 5

$u$ について解きます。

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ステップ 5.1

たすき掛けを利用して $u^{2} - 24 u + 128$ を因数分解します。

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ステップ 5.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $128$ で、その和が $- 24$ です。

$- 16, - 8$

ステップ 5.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(u - 16) (u - 8) = 0$

$(u - 16) (u - 8) = 0$

ステップ 5.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$u - 16 = 0$

$u - 8 = 0$

ステップ 5.3

$u - 16$ を $0$ に等しくし、 $u$ を解きます。

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ステップ 5.3.1

$u - 16$ が $0$ に等しいとします。

$u - 16 = 0$

ステップ 5.3.2

方程式の両辺に $16$ を足します。

$u = 16$

$u = 16$

ステップ 5.4

$u - 8$ を $0$ に等しくし、 $u$ を解きます。

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ステップ 5.4.1

$u - 8$ が $0$ に等しいとします。

$u - 8 = 0$

ステップ 5.4.2

方程式の両辺に $8$ を足します。

$u = 8$

$u = 8$

ステップ 5.5

最終解は $(u - 16) (u - 8) = 0$ を真にするすべての値です。

$u = 16, 8$

$u = 16, 8$

ステップ 6

$16$ を $u = 2^{x}$ の中の $u$ に代入します。

$16 = 2^{x}$

ステップ 7

$16 = 2^{x}$ を解きます。

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ステップ 7.1

方程式を $2^{x} = 16$ として書き換えます。

$2^{x} = 16$

ステップ 7.2

すべての方程式に等しい基数を持つ同等の式を作成します。

$2^{x} = 2^{4}$

ステップ 7.3

底が同じなので、2つの式は指数も等しい場合に限り等しいです。

$x = 4$

$x = 4$

ステップ 8

$8$ を $u = 2^{x}$ の中の $u$ に代入します。

$8 = 2^{x}$

ステップ 9

$8 = 2^{x}$ を解きます。

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ステップ 9.1

方程式を $2^{x} = 8$ として書き換えます。

$2^{x} = 8$

ステップ 9.2

すべての方程式に等しい基数を持つ同等の式を作成します。

$2^{x} = 2^{3}$

ステップ 9.3

底が同じなので、2つの式は指数も等しい場合に限り等しいです。

$x = 3$

$x = 3$

ステップ 10

方程式が真になるような解をリストします。

$x = 4, 3$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$