有限数学例

$5^{2 x} + 3 (5^{x}) = 28$

ステップ 1

$5^{2 x}$ を累乗法として書き換えます。

${(5^{x})}^{2} + 3 \cdot 5^{x} = 28$

ステップ 2

$u$ を $5^{x}$ に代入します。

$u^{2} + 3 u = 28$

ステップ 3

$u$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式の両辺から $28$ を引きます。

$u^{2} + 3 u - 28 = 0$

ステップ 3.2

たすき掛けを利用して $u^{2} + 3 u - 28$ を因数分解します。

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ステップ 3.2.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 28$ で、その和が $3$ です。

$- 4, 7$

ステップ 3.2.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(u - 4) (u + 7) = 0$

ステップ 3.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$u - 4 = 0$

$u + 7 = 0$

ステップ 3.4

$u - 4$ を $0$ に等しくし、 $u$ を解きます。

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ステップ 3.4.1

$u - 4$ が $0$ に等しいとします。

$u - 4 = 0$

ステップ 3.4.2

方程式の両辺に $4$ を足します。

$u = 4$

ステップ 3.5

$u + 7$ を $0$ に等しくし、 $u$ を解きます。

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ステップ 3.5.1

$u + 7$ が $0$ に等しいとします。

$u + 7 = 0$

ステップ 3.5.2

方程式の両辺から $7$ を引きます。

$u = - 7$

ステップ 3.6

最終解は $(u - 4) (u + 7) = 0$ を真にするすべての値です。

$u = 4, - 7$

ステップ 4

$4$ を $u = 5^{x}$ の中の $u$ に代入します。

$4 = 5^{x}$

ステップ 5

$4 = 5^{x}$ を解きます。

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ステップ 5.1

方程式を $5^{x} = 4$ として書き換えます。

$5^{x} = 4$

ステップ 5.2

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (5^{x}) = \ln (4)$

ステップ 5.3

$x$ を対数の外に移動させて、 $\ln (5^{x})$ を展開します。

$x \ln (5) = \ln (4)$

ステップ 5.4

$x \ln (5) = \ln (4)$ の各項を $\ln (5)$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.4.1

$x \ln (5) = \ln (4)$ の各項を $\ln (5)$ で割ります。

$\frac{x \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{\ln (4)}{\ln (5)}$

ステップ 5.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.4.2.1

$\ln (5)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{\ln (4)}{\ln (5)}$

ステップ 5.4.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{\ln (4)}{\ln (5)}$

ステップ 6

$- 7$ を $u = 5^{x}$ の中の $u$ に代入します。

$- 7 = 5^{x}$

ステップ 7

$- 7 = 5^{x}$ を解きます。

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ステップ 7.1

方程式を $5^{x} = - 7$ として書き換えます。

$5^{x} = - 7$

ステップ 7.2

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (5^{x}) = \ln (- 7)$

ステップ 7.3

$\ln (- 7)$ が未定義なので、方程式は解くことができません。

未定義

ステップ 7.4

$5^{x} = - 7$ の解はありません

解がありません

ステップ 8

方程式が真になるような解をリストします。

$x = \frac{\ln (4)}{\ln (5)}$

ステップ 9

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$x = \frac{\ln (4)}{\ln (5)}$

10進法形式：

$x = 0.86135311 \dots$

有限数学 例

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