有限数学例

$2 z^{\frac{13}{5}} - 14 z^{\frac{8}{5}} + 12 z^{\frac{3}{5}} = 0$

ステップ 1

各項にある共通因数 $z^{\frac{3}{5}}$ を求めます。

$2 {(z^{\frac{3}{5}})}^{\frac{13}{3}} - 14 {(z^{\frac{3}{5}})}^{\frac{8}{3}} + 12 z^{\frac{3}{5}}$

ステップ 2

$u$ を $z^{\frac{3}{5}}$ に代入します。

$2 {(u)}^{\frac{13}{3}} - 14 {(u)}^{\frac{8}{3}} + 12 (u) = 0$

ステップ 3

$u$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

$2 u$ を $2 u^{\frac{13}{3}} - 14 u^{\frac{8}{3}} + 12 u$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1.1

$2 u$ を $2 u^{\frac{13}{3}}$ で因数分解します。

$2 u (u^{\frac{10}{3}}) - 14 u^{\frac{8}{3}} + 12 u = 0$

ステップ 3.1.1.2

$2 u$ を $- 14 u^{\frac{8}{3}}$ で因数分解します。

$2 u (u^{\frac{10}{3}}) + 2 u (- 7 u^{\frac{5}{3}}) + 12 u = 0$

ステップ 3.1.1.3

$2 u$ を $12 u$ で因数分解します。

$2 u (u^{\frac{10}{3}}) + 2 u (- 7 u^{\frac{5}{3}}) + 2 u (6) = 0$

ステップ 3.1.1.4

$2 u$ を $2 u (u^{\frac{10}{3}}) + 2 u (- 7 u^{\frac{5}{3}})$ で因数分解します。

$2 u (u^{\frac{10}{3}} - 7 u^{\frac{5}{3}}) + 2 u (6) = 0$

ステップ 3.1.1.5

$2 u$ を $2 u (u^{\frac{10}{3}} - 7 u^{\frac{5}{3}}) + 2 u (6)$ で因数分解します。

$2 u (u^{\frac{10}{3}} - 7 u^{\frac{5}{3}} + 6) = 0$

ステップ 3.1.2

$u^{\frac{10}{3}}$ を ${(u^{\frac{5}{3}})}^{2}$ に書き換えます。

$2 u ({(u^{\frac{5}{3}})}^{2} - 7 u^{\frac{5}{3}} + 6) = 0$

ステップ 3.1.3

$u = u^{\frac{5}{3}}$ とします。 $u$ を $u^{\frac{5}{3}}$ に代入します。

$2 u (u^{2} - 7 u + 6) = 0$

ステップ 3.1.4

たすき掛けを利用して $u^{2} - 7 u + 6$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.4.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $6$ で、その和が $- 7$ です。

$- 6, - 1$

ステップ 3.1.4.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$2 u ((u - 6) (u - 1)) = 0$

ステップ 3.1.5

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.5.1

$u$ のすべての発生を $u^{\frac{5}{3}}$ で置き換えます。

$2 u ((u^{\frac{5}{3}} - 6) (u^{\frac{5}{3}} - 1)) = 0$

ステップ 3.1.5.2

不要な括弧を削除します。

$2 u (u^{\frac{5}{3}} - 6) (u^{\frac{5}{3}} - 1) = 0$

ステップ 3.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$u = 0$

$u^{\frac{5}{3}} - 6 = 0$

$u^{\frac{5}{3}} - 1 = 0$

ステップ 3.3

$u$ が $0$ に等しいとします。

$u = 0$

ステップ 3.4

$u^{\frac{5}{3}} - 6$ を $0$ に等しくし、 $u$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$u^{\frac{5}{3}} - 6$ が $0$ に等しいとします。

$u^{\frac{5}{3}} - 6 = 0$

ステップ 3.4.2

$u$ について $u^{\frac{5}{3}} - 6 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1

方程式の両辺に $6$ を足します。

$u^{\frac{5}{3}} = 6$

ステップ 3.4.2.2

方程式の両辺を $\frac{3}{5}$ 乗し、左辺の分数指数を消去します。

${(u^{\frac{5}{3}})}^{\frac{3}{5}} = 6^{\frac{3}{5}}$

ステップ 3.4.2.3

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.3.1

${(u^{\frac{5}{3}})}^{\frac{3}{5}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.3.1.1

${(u^{\frac{5}{3}})}^{\frac{3}{5}}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.3.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$u^{\frac{5}{3} \cdot \frac{3}{5}} = 6^{\frac{3}{5}}$

ステップ 3.4.2.3.1.1.2

$5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.3.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$u^{\frac{5}{3} \cdot \frac{3}{5}} = 6^{\frac{3}{5}}$

ステップ 3.4.2.3.1.1.2.2

式を書き換えます。

$u^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 6^{\frac{3}{5}}$

ステップ 3.4.2.3.1.1.3

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.3.1.1.3.1

共通因数を約分します。

$u^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 6^{\frac{3}{5}}$

ステップ 3.4.2.3.1.1.3.2

式を書き換えます。

$u^{1} = 6^{\frac{3}{5}}$

ステップ 3.4.2.3.1.2

簡約します。

$u = 6^{\frac{3}{5}}$

ステップ 3.5

$u^{\frac{5}{3}} - 1$ を $0$ に等しくし、 $u$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

$u^{\frac{5}{3}} - 1$ が $0$ に等しいとします。

$u^{\frac{5}{3}} - 1 = 0$

ステップ 3.5.2

$u$ について $u^{\frac{5}{3}} - 1 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$u^{\frac{5}{3}} = 1$

ステップ 3.5.2.2

方程式の両辺を $\frac{3}{5}$ 乗し、左辺の分数指数を消去します。

${(u^{\frac{5}{3}})}^{\frac{3}{5}} = 1^{\frac{3}{5}}$

ステップ 3.5.2.3

指数を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.3.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.3.1.1

${(u^{\frac{5}{3}})}^{\frac{3}{5}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.3.1.1.1

${(u^{\frac{5}{3}})}^{\frac{3}{5}}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.3.1.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$u^{\frac{5}{3} \cdot \frac{3}{5}} = 1^{\frac{3}{5}}$

ステップ 3.5.2.3.1.1.1.2

$5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.3.1.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$u^{\frac{5}{3} \cdot \frac{3}{5}} = 1^{\frac{3}{5}}$

ステップ 3.5.2.3.1.1.1.2.2

式を書き換えます。

$u^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 1^{\frac{3}{5}}$

ステップ 3.5.2.3.1.1.1.3

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.3.1.1.1.3.1

共通因数を約分します。

$u^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 1^{\frac{3}{5}}$

ステップ 3.5.2.3.1.1.1.3.2

式を書き換えます。

$u^{1} = 1^{\frac{3}{5}}$

ステップ 3.5.2.3.1.1.2

簡約します。

$u = 1^{\frac{3}{5}}$

ステップ 3.5.2.3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.3.2.1

1のすべての数の累乗は1です。

$u = 1$

ステップ 3.6

最終解は $2 u (u^{\frac{5}{3}} - 6) (u^{\frac{5}{3}} - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$u = 0, 6^{\frac{3}{5}}, 1$

ステップ 4

$z$ を $u$ に代入します。

$z^{\frac{3}{5}} = 0, 6^{\frac{3}{5}}, 1$

ステップ 5

$z$ の $z^{\frac{3}{5}} = 0$ についてを解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

方程式の両辺を $\frac{5}{3}$ 乗し、左辺の分数指数を消去します。

${(z^{\frac{3}{5}})}^{\frac{5}{3}} = 0^{\frac{5}{3}}$

ステップ 5.2

指数を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

${(z^{\frac{3}{5}})}^{\frac{5}{3}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1.1

${(z^{\frac{3}{5}})}^{\frac{5}{3}}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$z^{\frac{3}{5} \cdot \frac{5}{3}} = 0^{\frac{5}{3}}$

ステップ 5.2.1.1.1.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$z^{\frac{3}{5} \cdot \frac{5}{3}} = 0^{\frac{5}{3}}$

ステップ 5.2.1.1.1.2.2

式を書き換えます。

$z^{\frac{1}{5} \cdot 5} = 0^{\frac{5}{3}}$

ステップ 5.2.1.1.1.3

$5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1.1.3.1

共通因数を約分します。

$z^{\frac{1}{5} \cdot 5} = 0^{\frac{5}{3}}$

ステップ 5.2.1.1.1.3.2

式を書き換えます。

$z^{1} = 0^{\frac{5}{3}}$

ステップ 5.2.1.1.2

簡約します。

$z = 0^{\frac{5}{3}}$

ステップ 5.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

$0^{\frac{5}{3}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1.1

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1.1.1

$0$ を $0^{3}$ に書き換えます。

$z = {(0^{3})}^{\frac{5}{3}}$

ステップ 5.2.2.1.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$z = 0^{3 (\frac{5}{3})}$

ステップ 5.2.2.1.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1.2.1

共通因数を約分します。

$z = 0^{3 (\frac{5}{3})}$

ステップ 5.2.2.1.2.2

式を書き換えます。

$z = 0^{5}$

ステップ 5.2.2.1.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$z = 0$

ステップ 6

指数が等しいので、方程式の両辺の指数の底は等しくなければなりません。

$z = 6$

ステップ 7

$z$ の $z^{\frac{3}{5}} = 1$ についてを解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

方程式の両辺を $\frac{5}{3}$ 乗し、左辺の分数指数を消去します。

${(z^{\frac{3}{5}})}^{\frac{5}{3}} = 1^{\frac{5}{3}}$

ステップ 7.2

指数を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

${(z^{\frac{3}{5}})}^{\frac{5}{3}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1.1

${(z^{\frac{3}{5}})}^{\frac{5}{3}}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$z^{\frac{3}{5} \cdot \frac{5}{3}} = 1^{\frac{5}{3}}$

ステップ 7.2.1.1.1.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$z^{\frac{3}{5} \cdot \frac{5}{3}} = 1^{\frac{5}{3}}$

ステップ 7.2.1.1.1.2.2

式を書き換えます。

$z^{\frac{1}{5} \cdot 5} = 1^{\frac{5}{3}}$

ステップ 7.2.1.1.1.3

$5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1.1.3.1

共通因数を約分します。

$z^{\frac{1}{5} \cdot 5} = 1^{\frac{5}{3}}$

ステップ 7.2.1.1.1.3.2

式を書き換えます。

$z^{1} = 1^{\frac{5}{3}}$

ステップ 7.2.1.1.2

簡約します。

$z = 1^{\frac{5}{3}}$

ステップ 7.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1

1のすべての数の累乗は1です。

$z = 1$

ステップ 8

すべての解をまとめます。

$z = 0, 6, 1$

有限数学 例

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