有限数学例

$z^{2} - 2 i z + 1 = 0$

ステップ 1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 2

$a = 1$ 、 $b = - 2 i$ 、および $c = 1$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $z$ の値を求めます。

$\frac{2 i \pm \sqrt{{(- 2 i)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

分子を簡約します。

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ステップ 3.1.1

積の法則を $- 2 i$ に当てはめます。

$z = \frac{2 i \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} i^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.1.2

$- 2$ を $2$ 乗します。

$z = \frac{2 i \pm \sqrt{4 i^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.1.3

$i^{2}$ を $- 1$ に書き換えます。

$z = \frac{2 i \pm \sqrt{4 \cdot - 1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.1.4

$4$ に $- 1$ をかけます。

$z = \frac{2 i \pm \sqrt{- 4 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.1.5

$- 4 \cdot 1 \cdot 1$ を掛けます。

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ステップ 3.1.5.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$z = \frac{2 i \pm \sqrt{- 4 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.1.5.2

$- 4$ に $1$ をかけます。

$z = \frac{2 i \pm \sqrt{- 4 - 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.1.6

$- 4$ から $4$ を引きます。

$z = \frac{2 i \pm \sqrt{- 8}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.1.7

$- 8$ を $- 1 (8)$ に書き換えます。

$z = \frac{2 i \pm \sqrt{- 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.1.8

$\sqrt{- 1 (8)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$ に書き換えます。

$z = \frac{2 i \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.1.9

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$z = \frac{2 i \pm i \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.1.10

$8$ を $2^{2} \cdot 2$ に書き換えます。

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ステップ 3.1.10.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$z = \frac{2 i \pm i \cdot \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.1.10.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$z = \frac{2 i \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.1.11

累乗根の下から項を取り出します。

$z = \frac{2 i \pm i \cdot (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.1.12

$2$ を $i$ の左に移動させます。

$z = \frac{2 i \pm 2 i \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.2

$2$ に $1$ をかけます。

$z = \frac{2 i \pm 2 i \sqrt{2}}{2}$

ステップ 3.3

$\frac{2 i \pm 2 i \sqrt{2}}{2}$ を簡約します。

$z = i \pm i \sqrt{2}$

ステップ 4

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$z = i + i \sqrt{2}, i - i \sqrt{2}$

有限数学 例

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