有限数学例

$x = \frac{x^{2} - 36}{x^{2} - 9 x + 18}$

ステップ 1

各項を因数分解します。

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ステップ 1.1

$36$ を $6^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{x^{2} - 6^{2}}{x^{2} - 9 x + 18}$

ステップ 1.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 6$ です。

$x = \frac{(x + 6) (x - 6)}{x^{2} - 9 x + 18}$

ステップ 1.3

たすき掛けを利用して $x^{2} - 9 x + 18$ を因数分解します。

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ステップ 1.3.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $18$ で、その和が $- 9$ です。

$- 6, - 3$

ステップ 1.3.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$x = \frac{(x + 6) (x - 6)}{(x - 6) (x - 3)}$

ステップ 1.4

今日数因数で約分することで式 $\frac{(x + 6) (x - 6)}{(x - 6) (x - 3)}$ を約分します。

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ステップ 1.4.1

共通因数を約分します。

$x = \frac{(x + 6) (x - 6)}{(x - 6) (x - 3)}$

ステップ 1.4.2

式を書き換えます。

$x = \frac{x + 6}{x - 3}$

ステップ 2

方程式の項の最小公分母を求めます。

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ステップ 2.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$1, x - 3$

ステップ 2.2

括弧を削除します。

$1, x - 3$

ステップ 2.3

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$x - 3$

ステップ 3

$x = \frac{x + 6}{x - 3}$ の各項に $x - 3$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 3.1

$x = \frac{x + 6}{x - 3}$ の各項に $x - 3$ を掛けます。

$x (x - 3) = \frac{x + 6}{x - 3} (x - 3)$

ステップ 3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

分配則を当てはめます。

$x \cdot x + x \cdot - 3 = \frac{x + 6}{x - 3} (x - 3)$

ステップ 3.2.2

式を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$x$ に $x$ をかけます。

$x^{2} + x \cdot - 3 = \frac{x + 6}{x - 3} (x - 3)$

ステップ 3.2.2.2

$- 3$ を $x$ の左に移動させます。

$x^{2} - 3 x = \frac{x + 6}{x - 3} (x - 3)$

ステップ 3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.3.1

$x - 3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.1.1

共通因数を約分します。

$x^{2} - 3 x = \frac{x + 6}{x - 3} (x - 3)$

ステップ 3.3.1.2

式を書き換えます。

$x^{2} - 3 x = x + 6$

ステップ 4

方程式を解きます。

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ステップ 4.1

$x$ を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

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ステップ 4.1.1

方程式の両辺から $x$ を引きます。

$x^{2} - 3 x - x = 6$

ステップ 4.1.2

$- 3 x$ から $x$ を引きます。

$x^{2} - 4 x = 6$

ステップ 4.2

方程式の両辺から $6$ を引きます。

$x^{2} - 4 x - 6 = 0$

ステップ 4.3

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 4.4

$a = 1$ 、 $b = - 4$ 、および $c = - 6$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 6)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.5

簡約します。

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ステップ 4.5.1

分子を簡約します。

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ステップ 4.5.1.1

$- 4$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.5.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 6$ を掛けます。

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ステップ 4.5.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.5.1.2.2

$- 4$ に $- 6$ をかけます。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 24}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.5.1.3

$16$ と $24$ をたし算します。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{40}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.5.1.4

$40$ を $2^{2} \cdot 10$ に書き換えます。

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ステップ 4.5.1.4.1

$4$ を $40$ で因数分解します。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4 (10)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.5.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.5.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{10}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.5.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{10}}{2}$

ステップ 4.5.3

$\frac{4 \pm 2 \sqrt{10}}{2}$ を簡約します。

$x = 2 \pm \sqrt{10}$

ステップ 4.6

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = 2 + \sqrt{10}, 2 - \sqrt{10}$

ステップ 5

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$x = 2 + \sqrt{10}, 2 - \sqrt{10}$

10進法形式：

$x = 5.16227766 \dots, - 1.16227766 \dots$

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