有限数学例

$\frac{x + 1}{2 - x} < \frac{x}{33 + x}$

ステップ 1

不等式の両辺から $\frac{x}{33 + x}$ を引きます。

$\frac{x + 1}{2 - x} - \frac{x}{33 + x} < 0$

ステップ 2

$\frac{x + 1}{2 - x} - \frac{x}{33 + x}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$\frac{x + 1}{2 - x}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{33 + x}{33 + x}$ を掛けます。

$\frac{x + 1}{2 - x} \cdot \frac{33 + x}{33 + x} - \frac{x}{33 + x} < 0$

ステップ 2.2

$- \frac{x}{33 + x}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2 - x}{2 - x}$ を掛けます。

$\frac{x + 1}{2 - x} \cdot \frac{33 + x}{33 + x} - \frac{x}{33 + x} \cdot \frac{2 - x}{2 - x} < 0$

ステップ 2.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(2 - x) (33 + x)$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 2.3.1

$\frac{x + 1}{2 - x}$ に $\frac{33 + x}{33 + x}$ をかけます。

$\frac{(x + 1) (33 + x)}{(2 - x) (33 + x)} - \frac{x}{33 + x} \cdot \frac{2 - x}{2 - x} < 0$

ステップ 2.3.2

$\frac{x}{33 + x}$ に $\frac{2 - x}{2 - x}$ をかけます。

$\frac{(x + 1) (33 + x)}{(2 - x) (33 + x)} - \frac{x (2 - x)}{(33 + x) (2 - x)} < 0$

ステップ 2.3.3

$(33 + x) (2 - x)$ の因数を並べ替えます。

$\frac{(x + 1) (33 + x)}{(2 - x) (33 + x)} - \frac{x (2 - x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

ステップ 2.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{(x + 1) (33 + x) - x (2 - x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

ステップ 2.5

分子を簡約します。

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ステップ 2.5.1

分配法則（FOIL法）を使って $(x + 1) (33 + x)$ を展開します。

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ステップ 2.5.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x (33 + x) + 1 (33 + x) - x (2 - x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

ステップ 2.5.1.2

分配則を当てはめます。

$\frac{x \cdot 33 + x \cdot x + 1 (33 + x) - x (2 - x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

ステップ 2.5.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{x \cdot 33 + x \cdot x + 1 \cdot 33 + 1 x - x (2 - x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

ステップ 2.5.2

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 2.5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.1.1

$33$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{33 \cdot x + x \cdot x + 1 \cdot 33 + 1 x - x (2 - x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

ステップ 2.5.2.1.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{33 x + x^{2} + 1 \cdot 33 + 1 x - x (2 - x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

ステップ 2.5.2.1.3

$33$ に $1$ をかけます。

$\frac{33 x + x^{2} + 33 + 1 x - x (2 - x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

ステップ 2.5.2.1.4

$x$ に $1$ をかけます。

$\frac{33 x + x^{2} + 33 + x - x (2 - x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

ステップ 2.5.2.2

$33 x$ と $x$ をたし算します。

$\frac{34 x + x^{2} + 33 - x (2 - x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

ステップ 2.5.3

分配則を当てはめます。

$\frac{34 x + x^{2} + 33 - x \cdot 2 - x (- x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

ステップ 2.5.4

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{34 x + x^{2} + 33 - 2 x - x (- x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

ステップ 2.5.5

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{34 x + x^{2} + 33 - 2 x - 1 \cdot - 1 x \cdot x}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

ステップ 2.5.6

各項を簡約します。

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ステップ 2.5.6.1

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 2.5.6.1.1

$x$ を移動させます。

$\frac{34 x + x^{2} + 33 - 2 x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

ステップ 2.5.6.1.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{34 x + x^{2} + 33 - 2 x - 1 \cdot - 1 x^{2}}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

ステップ 2.5.6.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{34 x + x^{2} + 33 - 2 x + 1 x^{2}}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

ステップ 2.5.6.3

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{34 x + x^{2} + 33 - 2 x + x^{2}}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

ステップ 2.5.7

$34 x$ から $2 x$ を引きます。

$\frac{32 x + x^{2} + 33 + x^{2}}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

ステップ 2.5.8

$x^{2}$ と $x^{2}$ をたし算します。

$\frac{32 x + 2 x^{2} + 33}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

ステップ 2.5.9

項を並べ替えます。

$\frac{2 x^{2} + 32 x + 33}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

ステップ 3

各因数を $0$ に等しくして解くことで、式が負から正に切り替わるすべての値を求めます。

$2 x^{2} + 32 x + 33 = 0$

$2 - x = 0$

$33 + x = 0$

ステップ 4

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 5

$a = 2$ 、 $b = 32$ 、および $c = 33$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{- 32 \pm \sqrt{32^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 33)}}{2 \cdot 2}$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

分子を簡約します。

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ステップ 6.1.1

$32$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 4 \cdot 2 \cdot 33}}{2 \cdot 2}$

ステップ 6.1.2

$- 4 \cdot 2 \cdot 33$ を掛けます。

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ステップ 6.1.2.1

$- 4$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 8 \cdot 33}}{2 \cdot 2}$

ステップ 6.1.2.2

$- 8$ に $33$ をかけます。

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 264}}{2 \cdot 2}$

ステップ 6.1.3

$1024$ から $264$ を引きます。

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{760}}{2 \cdot 2}$

ステップ 6.1.4

$760$ を $2^{2} \cdot 190$ に書き換えます。

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ステップ 6.1.4.1

$4$ を $760$ で因数分解します。

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{4 (190)}}{2 \cdot 2}$

ステップ 6.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 190}}{2 \cdot 2}$

ステップ 6.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{- 32 \pm 2 \sqrt{190}}{2 \cdot 2}$

ステップ 6.2

$2$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{- 32 \pm 2 \sqrt{190}}{4}$

ステップ 6.3

$\frac{- 32 \pm 2 \sqrt{190}}{4}$ を簡約します。

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{190}}{2}$

ステップ 7

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = - \frac{16 - \sqrt{190}}{2}, - \frac{16 + \sqrt{190}}{2}$

ステップ 8

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$- x = - 2$

ステップ 9

$- x = - 2$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 9.1

$- x = - 2$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

ステップ 9.2

左辺を簡約します。

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ステップ 9.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

ステップ 9.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 2}{- 1}$

ステップ 9.3

右辺を簡約します。

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ステップ 9.3.1

$- 2$ を $- 1$ で割ります。

$x = 2$

ステップ 10

方程式の両辺から $33$ を引きます。

$x = - 33$

ステップ 11

各因数について解き、絶対値式が負から正になる値を求めます。

$x = - \frac{16 - \sqrt{190}}{2}, - \frac{16 + \sqrt{190}}{2}$

$x = 2$

$x = - 33$

ステップ 12

解をまとめます。

$x = - \frac{16 - \sqrt{190}}{2}, - \frac{16 + \sqrt{190}}{2}, 2, - 33$

ステップ 13

$\frac{2 x^{2} + 32 x + 33}{(2 - x) (33 + x)}$ の定義域を求めます。

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ステップ 13.1

$\frac{2 x^{2} + 32 x + 33}{(2 - x) (33 + x)}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$(2 - x) (33 + x) = 0$

ステップ 13.2

$x$ について解きます。

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ステップ 13.2.1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$2 - x = 0$

$33 + x = 0$

ステップ 13.2.2

$2 - x$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 13.2.2.1

$2 - x$ が $0$ に等しいとします。

$2 - x = 0$

ステップ 13.2.2.2

$x$ について $2 - x = 0$ を解きます。

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ステップ 13.2.2.2.1

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$- x = - 2$

ステップ 13.2.2.2.2

$- x = - 2$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 13.2.2.2.2.1

$- x = - 2$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

ステップ 13.2.2.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 13.2.2.2.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

ステップ 13.2.2.2.2.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 2}{- 1}$

ステップ 13.2.2.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 13.2.2.2.2.3.1

$- 2$ を $- 1$ で割ります。

$x = 2$

ステップ 13.2.3

$33 + x$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 13.2.3.1

$33 + x$ が $0$ に等しいとします。

$33 + x = 0$

ステップ 13.2.3.2

方程式の両辺から $33$ を引きます。

$x = - 33$

ステップ 13.2.4

最終解は $(2 - x) (33 + x) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 2, - 33$

ステップ 13.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$(- \infty, - 33) \cup (- 33, 2) \cup (2, \infty)$

ステップ 14

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 33$

$- 33 < x < - \frac{16 + \sqrt{190}}{2}$

$- \frac{16 + \sqrt{190}}{2} < x < - \frac{16 - \sqrt{190}}{2}$

$- \frac{16 - \sqrt{190}}{2} < x < 2$

$x > 2$

ステップ 15

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 15.1

区間 $x < - 33$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 15.1.1

区間 $x < - 33$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 36$

ステップ 15.1.2

$x$ を元の不等式の $- 36$ で置き換えます。

$\frac{(- 36) + 1}{2 - (- 36)} < \frac{- 36}{33 - 36}$

ステップ 15.1.3

左辺 $- 0.92105263$ は右辺 $12$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 15.2

区間 $- 33 < x < - \frac{16 + \sqrt{190}}{2}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 15.2.1

区間 $- 33 < x < - \frac{16 + \sqrt{190}}{2}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 17$

ステップ 15.2.2

$x$ を元の不等式の $- 17$ で置き換えます。

$\frac{(- 17) + 1}{2 - (- 17)} < \frac{- 17}{33 - 17}$

ステップ 15.2.3

左辺 $- 0.84210526$ は右辺 $- 1.0625$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 15.3

区間 $- \frac{16 + \sqrt{190}}{2} < x < - \frac{16 - \sqrt{190}}{2}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 15.3.1

区間 $- \frac{16 + \sqrt{190}}{2} < x < - \frac{16 - \sqrt{190}}{2}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 4$

ステップ 15.3.2

$x$ を元の不等式の $- 4$ で置き換えます。

$\frac{(- 4) + 1}{2 - (- 4)} < \frac{- 4}{33 - 4}$

ステップ 15.3.3

左辺 $- 0.5$ は右辺 $- 0.13793103$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 15.4

区間 $- \frac{16 - \sqrt{190}}{2} < x < 2$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 15.4.1

区間 $- \frac{16 - \sqrt{190}}{2} < x < 2$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 15.4.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$\frac{(0) + 1}{2 - (0)} < \frac{0}{33 + 0}$

ステップ 15.4.3

左辺 $0.5$ は右辺 $0$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 15.5

区間 $x > 2$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 15.5.1

区間 $x > 2$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 4$

ステップ 15.5.2

$x$ を元の不等式の $4$ で置き換えます。

$\frac{(4) + 1}{2 - (4)} < \frac{4}{33 + 4}$

ステップ 15.5.3

左辺 $- 2.5$ は右辺 $0.\overline{108}$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 15.6

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 33$ 真

$- 33 < x < - \frac{16 + \sqrt{190}}{2}$ 偽

$- \frac{16 + \sqrt{190}}{2} < x < - \frac{16 - \sqrt{190}}{2}$ 真

$- \frac{16 - \sqrt{190}}{2} < x < 2$ 偽

$x > 2$ 真

$x < - 33$ 真

$- 33 < x < - \frac{16 + \sqrt{190}}{2}$ 偽

$- \frac{16 + \sqrt{190}}{2} < x < - \frac{16 - \sqrt{190}}{2}$ 真

$- \frac{16 - \sqrt{190}}{2} < x < 2$ 偽

$x > 2$ 真

ステップ 16

解はすべての真の区間からなります。

$x < - 33$ または $- \frac{16 + \sqrt{190}}{2} < x < - \frac{16 - \sqrt{190}}{2}$ または $x > 2$

ステップ 17

結果は複数の形で表すことができます。

不等式形：

$x < - 33 or - \frac{16 + \sqrt{190}}{2} < x < - \frac{16 - \sqrt{190}}{2} or x > 2$

区間記号：

$(- \infty, - 33) \cup (- \frac{16 + \sqrt{190}}{2}, - \frac{16 - \sqrt{190}}{2}) \cup (2, \infty)$

ステップ 18

有限数学 例

有限数学例