有限数学例

$\ln (x) + \ln (x - 1) = \ln (2) + \ln (3)$

ステップ 1

左辺を簡約します。

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ステップ 1.1

対数の積の性質を使います、 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ です。

$\ln (x (x - 1)) = \ln (2) + \ln (3)$

ステップ 1.2

両辺を掛けて簡約します。

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ステップ 1.2.1

分配則を当てはめます。

$\ln (x \cdot x + x \cdot - 1) = \ln (2) + \ln (3)$

ステップ 1.2.2

式を簡約します。

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ステップ 1.2.2.1

$x$ に $x$ をかけます。

$\ln (x^{2} + x \cdot - 1) = \ln (2) + \ln (3)$

ステップ 1.2.2.2

$- 1$ を $x$ の左に移動させます。

$\ln (x^{2} - 1 \cdot x) = \ln (2) + \ln (3)$

ステップ 1.3

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$\ln (x^{2} - x) = \ln (2) + \ln (3)$

ステップ 2

右辺を簡約します。

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ステップ 2.1

対数の積の性質を使います、 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ です。

$\ln (x^{2} - x) = \ln (2 \cdot 3)$

ステップ 2.2

$2$ に $3$ をかけます。

$\ln (x^{2} - x) = \ln (6)$

ステップ 3

方程式を等しくするために、両辺の対数の引数が等しくなる必要があります。

$x^{2} - x = 6$

ステップ 4

$x$ について解きます。

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ステップ 4.1

方程式の両辺から $6$ を引きます。

$x^{2} - x - 6 = 0$

ステップ 4.2

たすき掛けを利用して $x^{2} - x - 6$ を因数分解します。

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ステップ 4.2.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 6$ で、その和が $- 1$ です。

$- 3, 2$

ステップ 4.2.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(x - 3) (x + 2) = 0$

ステップ 4.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 3 = 0$

$x + 2 = 0$

ステップ 4.4

$x - 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.4.1

$x - 3$ が $0$ に等しいとします。

$x - 3 = 0$

ステップ 4.4.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x = 3$

ステップ 4.5

$x + 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.5.1

$x + 2$ が $0$ に等しいとします。

$x + 2 = 0$

ステップ 4.5.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$x = - 2$

ステップ 4.6

最終解は $(x - 3) (x + 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 3, - 2$

ステップ 5

$\ln (x) + \ln (x - 1) = \ln (2) + \ln (3)$ が真にならない解を除外します。

$x = 3$

有限数学 例

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