有限数学例

$\ln (1 - x) + \ln (8 - x) = \ln (18)$

ステップ 1

左辺を簡約します。

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ステップ 1.1

対数の積の性質を使います、 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ です。

$\ln ((1 - x) (8 - x)) = \ln (18)$

ステップ 1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(1 - x) (8 - x)$ を展開します。

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ステップ 1.2.1

分配則を当てはめます。

$\ln (1 (8 - x) - x (8 - x)) = \ln (18)$

ステップ 1.2.2

分配則を当てはめます。

$\ln (1 \cdot 8 + 1 (- x) - x (8 - x)) = \ln (18)$

ステップ 1.2.3

分配則を当てはめます。

$\ln (1 \cdot 8 + 1 (- x) - x \cdot 8 - x (- x)) = \ln (18)$

ステップ 1.3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 1.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.3.1.1

$8$ に $1$ をかけます。

$\ln (8 + 1 (- x) - x \cdot 8 - x (- x)) = \ln (18)$

ステップ 1.3.1.2

$- x$ に $1$ をかけます。

$\ln (8 - x - x \cdot 8 - x (- x)) = \ln (18)$

ステップ 1.3.1.3

$8$ に $- 1$ をかけます。

$\ln (8 - x - 8 x - x (- x)) = \ln (18)$

ステップ 1.3.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$\ln (8 - x - 8 x - 1 \cdot (- 1 x \cdot x)) = \ln (18)$

ステップ 1.3.1.5

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 1.3.1.5.1

$x$ を移動させます。

$\ln (8 - x - 8 x - 1 \cdot (- 1 (x \cdot x))) = \ln (18)$

ステップ 1.3.1.5.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\ln (8 - x - 8 x - 1 \cdot (- 1 x^{2})) = \ln (18)$

ステップ 1.3.1.6

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\ln (8 - x - 8 x + 1 x^{2}) = \ln (18)$

ステップ 1.3.1.7

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$\ln (8 - x - 8 x + x^{2}) = \ln (18)$

ステップ 1.3.2

$- x$ から $8 x$ を引きます。

$\ln (8 - 9 x + x^{2}) = \ln (18)$

ステップ 2

方程式を等しくするために、両辺の対数の引数が等しくなる必要があります。

$8 - 9 x + x^{2} = 18$

ステップ 3

$x$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式の両辺から $18$ を引きます。

$8 - 9 x + x^{2} - 18 = 0$

ステップ 3.2

$8$ から $18$ を引きます。

$- 9 x + x^{2} - 10 = 0$

ステップ 3.3

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 3.3.1

$u = x$ とします。 $u$ を $x$ に代入します。

$- 9 u + u^{2} - 10 = 0$

ステップ 3.3.2

たすき掛けを利用して $- 9 u + u^{2} - 10$ を因数分解します。

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ステップ 3.3.2.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 10$ で、その和が $- 9$ です。

$- 10, 1$

ステップ 3.3.2.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(u - 10) (u + 1) = 0$

ステップ 3.3.3

$u$ のすべての発生を $x$ で置き換えます。

$(x - 10) (x + 1) = 0$

ステップ 3.4

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 10 = 0$

$x + 1 = 0$

ステップ 3.5

$x - 10$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.5.1

$x - 10$ が $0$ に等しいとします。

$x - 10 = 0$

ステップ 3.5.2

方程式の両辺に $10$ を足します。

$x = 10$

ステップ 3.6

$x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.6.1

$x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x + 1 = 0$

ステップ 3.6.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 3.7

最終解は $(x - 10) (x + 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 10, - 1$

ステップ 4

$\ln (1 - x) + \ln (8 - x) = \ln (18)$ が真にならない解を除外します。

$x = - 1$

有限数学 例

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