有限数学例

$\ln (x - 2) + \ln (2 x + 1) = 8$

ステップ 1

左辺を簡約します。

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ステップ 1.1

対数の積の性質を使います、 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ です。

$\ln ((x - 2) (2 x + 1)) = 8$

ステップ 1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(x - 2) (2 x + 1)$ を展開します。

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ステップ 1.2.1

分配則を当てはめます。

$\ln (x (2 x + 1) - 2 (2 x + 1)) = 8$

ステップ 1.2.2

分配則を当てはめます。

$\ln (x (2 x) + x \cdot 1 - 2 (2 x + 1)) = 8$

ステップ 1.2.3

分配則を当てはめます。

$\ln (x (2 x) + x \cdot 1 - 2 (2 x) - 2 \cdot 1) = 8$

ステップ 1.3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 1.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.3.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\ln (2 x \cdot x + x \cdot 1 - 2 (2 x) - 2 \cdot 1) = 8$

ステップ 1.3.1.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 1.3.1.2.1

$x$ を移動させます。

$\ln (2 (x \cdot x) + x \cdot 1 - 2 (2 x) - 2 \cdot 1) = 8$

ステップ 1.3.1.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\ln (2 x^{2} + x \cdot 1 - 2 (2 x) - 2 \cdot 1) = 8$

ステップ 1.3.1.3

$x$ に $1$ をかけます。

$\ln (2 x^{2} + x - 2 (2 x) - 2 \cdot 1) = 8$

ステップ 1.3.1.4

$2$ に $- 2$ をかけます。

$\ln (2 x^{2} + x - 4 x - 2 \cdot 1) = 8$

ステップ 1.3.1.5

$- 2$ に $1$ をかけます。

$\ln (2 x^{2} + x - 4 x - 2) = 8$

ステップ 1.3.2

$x$ から $4 x$ を引きます。

$\ln (2 x^{2} - 3 x - 2) = 8$

ステップ 2

$x$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (2 x^{2} - 3 x - 2)} = e^{8}$

ステップ 3

対数の定義を利用して $\ln (2 x^{2} - 3 x - 2) = 8$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{8} = 2 x^{2} - 3 x - 2$

ステップ 4

$x$ について解きます。

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ステップ 4.1

方程式を $2 x^{2} - 3 x - 2 = e^{8}$ として書き換えます。

$2 x^{2} - 3 x - 2 = e^{8}$

ステップ 4.2

方程式の両辺から $e^{8}$ を引きます。

$2 x^{2} - 3 x - 2 - e^{8} = 0$

ステップ 4.3

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 4.4

$a = 2$ 、 $b = - 3$ 、および $c = - 2 - e^{8}$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot (- 2 - e^{8}))}}{2 \cdot 2}$

ステップ 4.5

簡約します。

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ステップ 4.5.1

分子を簡約します。

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ステップ 4.5.1.1

$- 3$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot (- 2 - e^{8})}}{2 \cdot 2}$

ステップ 4.5.1.2

$- 4$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot (- 2 - e^{8})}}{2 \cdot 2}$

ステップ 4.5.1.3

分配則を当てはめます。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot - 2 - 8 (- e^{8})}}{2 \cdot 2}$

ステップ 4.5.1.4

$- 8$ に $- 2$ をかけます。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16 - 8 (- e^{8})}}{2 \cdot 2}$

ステップ 4.5.1.5

$- 1$ に $- 8$ をかけます。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16 + 8 e^{8}}}{2 \cdot 2}$

ステップ 4.5.1.6

$9$ と $16$ をたし算します。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{25 + 8 e^{8}}}{2 \cdot 2}$

ステップ 4.5.2

$2$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{25 + 8 e^{8}}}{4}$

ステップ 4.6

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = \frac{3 + \sqrt{25 + 8 e^{8}}}{4}, \frac{3 - \sqrt{25 + 8 e^{8}}}{4}$

ステップ 5

$\ln (x - 2) + \ln (2 x + 1) = 8$ が真にならない解を除外します。

$x = \frac{3 + \sqrt{25 + 8 e^{8}}}{4}$

ステップ 6

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$x = \frac{3 + \sqrt{25 + 8 e^{8}}}{4}$

10進法形式：

$x = 39.37695294 \dots$

有限数学 例

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