有限数学例

5 {log}_{2} (x) - {log}_{2} (2 x^{3}) = 5

$5 \log_{2} (x) - \log_{2} (2 x^{3}) = 5$

ステップ 1

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

5 {log}_{2} (x) - {log}_{2} (2 x^{3}) = 5

$5 \log_{2} (x) - \log_{2} (2 x^{3}) = 5$

ステップ 2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.1

5 {log}_{2} (x) - {log}_{2} (2 x^{3})

$5 \log_{2} (x) - \log_{2} (2 x^{3})$ を簡約します。

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ステップ 2.1.1

対数の中の

5

$5$ を移動させて

5 {log}_{2} (x)

$5 \log_{2} (x)$ を簡約します。

{log}_{2} (x^{5}) - {log}_{2} (2 x^{3}) = 5

$\log_{2} (x^{5}) - \log_{2} (2 x^{3}) = 5$

ステップ 2.1.2

対数の商の性質を使います、

{log}_{b} (x) - {log}_{b} (y) = {log}_{b} (\frac{x}{y})

$\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

{log}_{2} (\frac{x^{5}}{2 x^{3}}) = 5

$\log_{2} (\frac{x^{5}}{2 x^{3}}) = 5$

ステップ 2.1.3

今日数因数で約分することで式

\frac{x^{5}}{2 x^{3}}

$\frac{x^{5}}{2 x^{3}}$ を約分します。

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ステップ 2.1.3.1

x^{3}

$x^{3}$ を

x^{5}

$x^{5}$ で因数分解します。

{log}_{2} (\frac{x^{3} x^{2}}{2 x^{3}}) = 5

$\log_{2} (\frac{x^{3} x^{2}}{2 x^{3}}) = 5$

ステップ 2.1.3.2

x^{3}

$x^{3}$ を

2 x^{3}

$2 x^{3}$ で因数分解します。

{log}_{2} (\frac{x^{3} x^{2}}{x^{3} \cdot 2}) = 5

$\log_{2} (\frac{x^{3} x^{2}}{x^{3} \cdot 2}) = 5$

ステップ 2.1.3.3

共通因数を約分します。

$\log_{2} (\frac{x^{3} x^{2}}{x^{3} \cdot 2}) = 5$

ステップ 2.1.3.4

式を書き換えます。

$\log_{2} (\frac{x^{2}}{2}) = 5$

ステップ 2.1.4

$\frac{x^{2}}{2}$ を

$x^{2} \cdot 2^{- 1}$ に書き換えます。

$\log_{2} (x^{2} \cdot 2^{- 1}) = 5$

ステップ 2.1.5

$\log_{2} (x^{2} \cdot 2^{- 1})$ を

$\log_{2} (x^{2}) + \log_{2} (2^{- 1})$ に書き換えます。

$\log_{2} (x^{2}) + \log_{2} (2^{- 1}) = 5$

ステップ 2.1.6

対数の法則を利用して指数の外に

$- 1$ を移動します。

$\log_{2} (x^{2}) - \log_{2} (2) = 5$

ステップ 2.1.7

$2$ の対数の底

$2$ は

$1$ です。

$\log_{2} (x^{2}) - 1 \cdot 1 = 5$

ステップ 2.1.8

$- 1$ に

$1$ をかけます。

$\log_{2} (x^{2}) - 1 = 5$

ステップ 3

$x$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 3.1

方程式の両辺に

$1$ を足します。

$\log_{2} (x^{2}) = 5 + 1$

ステップ 3.2

$5$ と

$1$ をたし算します。

$\log_{2} (x^{2}) = 6$

ステップ 4

指数表記で書きます。

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ステップ 4.1

対数方程式に対して、

$\log_{b} (x) = y$ は、

$x > 0$ 、

$b > 0$ 、

$b \neq 1$ のように

$b^{y} = x$ と等しくなります。この場合、

$b = 2$ 、

$x = x^{2}$ 、および

$y = 6$ です。

$b = 2$

$x = x^{2}$

$y = 6$

ステップ 4.2

$b$ 、

$x$ 、および

$y$ の値を方程式

$b^{y} = x$ に代入します。

$2^{6} = x^{2}$

ステップ 5

$x$ について解きます。

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ステップ 5.1

方程式を

$x^{2} = 2^{6}$ として書き換えます。

$x^{2} = 2^{6}$

ステップ 5.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{2^{6}}$

ステップ 5.3

$\pm \sqrt{2^{6}}$ を簡約します。

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ステップ 5.3.1

$2$ を

$6$ 乗します。

$x = \pm \sqrt{64}$

ステップ 5.3.2

$64$ を

$8^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{8^{2}}$

ステップ 5.3.3

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 8$

ステップ 5.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 5.4.1

まず、

$\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 8$

ステップ 5.4.2

次に、

$\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 8$

ステップ 5.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 8, - 8$

ステップ 6

$5 \log_{2} (x) - \log_{2} (2 x^{3}) = 5$ が真にならない解を除外します。

$x = 8$

有限数学 例

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