有限数学例

$P (t) = 20000 {(1.02)}^{t}$

ステップ 1

$P (t) = 20000 {(1.02)}^{t}$ を方程式で書きます。

$y = 20000 {(1.02)}^{t}$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$t = 20000 {(1.02)}^{y}$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式を $20000 \cdot {1.02}^{y} = t$ として書き換えます。

$20000 \cdot {1.02}^{y} = t$

ステップ 3.2

$20000 \cdot {1.02}^{y} = t$ の各項を $20000$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.2.1

$20000 \cdot {1.02}^{y} = t$ の各項を $20000$ で割ります。

$\frac{20000 \cdot {1.02}^{y}}{20000} = \frac{t}{20000}$

ステップ 3.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$20000$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{20000 \cdot {1.02}^{y}}{20000} = \frac{t}{20000}$

ステップ 3.2.2.1.2

${1.02}^{y}$ を $1$ で割ります。

${1.02}^{y} = \frac{t}{20000}$

ステップ 3.3

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln ({1.02}^{y}) = \ln (\frac{t}{20000})$

ステップ 3.4

$y$ を対数の外に移動させて、 $\ln ({1.02}^{y})$ を展開します。

$y \ln (1.02) = \ln (\frac{t}{20000})$

ステップ 3.5

$y \ln (1.02) = \ln (\frac{t}{20000})$ の各項を $\ln (1.02)$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.5.1

$y \ln (1.02) = \ln (\frac{t}{20000})$ の各項を $\ln (1.02)$ で割ります。

$\frac{y \ln (1.02)}{\ln (1.02)} = \frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)}$

ステップ 3.5.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.5.2.1

$\ln (1.02)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y \ln (1.02)}{\ln (1.02)} = \frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)}$

ステップ 3.5.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)}$

ステップ 4

Replace $y$ with $P^{- 1} (t)$ to show the final answer.

$P^{- 1} (t) = \frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)}$

ステップ 5

$P^{- 1} (t) = \frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)}$ が $P (t) = 20000 {(1.02)}^{t}$ の逆か確認します。

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ステップ 5.1

逆を確認するために、 $P^{- 1} (P (t)) = t$ と $P (P^{- 1} (t)) = t$ か確認します。

ステップ 5.2

$P^{- 1} (P (t))$ の値を求めます。

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ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$P^{- 1} (P (t))$

ステップ 5.2.2

$P^{- 1}$ に $P$ の値を代入し、 $P^{- 1} (20000 {(1.02)}^{t})$ の値を求めます。

$P^{- 1} (20000 {(1.02)}^{t}) = \frac{\ln (\frac{20000 {(1.02)}^{t}}{20000})}{\ln (1.02)}$

ステップ 5.2.3

$20000$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.3.1

共通因数を約分します。

$P^{- 1} (20000 {(1.02)}^{t}) = \frac{\ln (\frac{20000 {(1.02)}^{t}}{20000})}{\ln (1.02)}$

ステップ 5.2.3.2

${(1.02)}^{t}$ を $1$ で割ります。

$P^{- 1} (20000 {(1.02)}^{t}) = \frac{\ln ({(1.02)}^{t})}{\ln (1.02)}$

ステップ 5.2.4

$t$ を対数の外に移動させて、 $\ln ({(1.02)}^{t})$ を展開します。

$P^{- 1} (20000 {(1.02)}^{t}) = \frac{t \ln (1.02)}{\ln (1.02)}$

ステップ 5.2.5

$\ln (1.02)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.5.1

共通因数を約分します。

$P^{- 1} (20000 {(1.02)}^{t}) = \frac{t \ln (1.02)}{\ln (1.02)}$

ステップ 5.2.5.2

$t$ を $1$ で割ります。

$P^{- 1} (20000 {(1.02)}^{t}) = t$

ステップ 5.3

$P (P^{- 1} (t))$ の値を求めます。

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ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$P (P^{- 1} (t))$

ステップ 5.3.2

$P$ に $P^{- 1}$ の値を代入し、 $P (\frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)})$ の値を求めます。

$P (\frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)}) = 20000 {(1.02)}^{\frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)}}$

ステップ 5.3.3

底の変換公式 $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ を利用します。

$P (\frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)}) = 20000 \cdot {1.02}^{\log_{1.02} (\frac{t}{20000})}$

ステップ 5.3.4

指数関数と対数関数は逆関数です。

$P (\frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)}) = 20000 \cdot \frac{t}{20000}$

ステップ 5.3.5

$20000$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.5.1

共通因数を約分します。

$P (\frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)}) = 20000 \cdot \frac{t}{20000}$

ステップ 5.3.5.2

式を書き換えます。

$P (\frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)}) = t$

ステップ 5.4

$P^{- 1} (P (t)) = t$ と $P (P^{- 1} (t)) = t$ なので、 $P^{- 1} (t) = \frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)}$ は $P (t) = 20000 {(1.02)}^{t}$ の逆です。

$P^{- 1} (t) = \frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)}$

有限数学 例

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