有限数学例

$9 x^{3} + 9 x^{2} - 4 x - 4 = 0$

ステップ 1

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 1.1

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 1.1.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(9 x^{3} + 9 x^{2}) - 4 x - 4 = 0$

ステップ 1.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$9 x^{2} (x + 1) - 4 (x + 1) = 0$

ステップ 1.2

最大公約数 $x + 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(x + 1) (9 x^{2} - 4) = 0$

ステップ 1.3

$9 x^{2}$ を ${(3 x)}^{2}$ に書き換えます。

$(x + 1) ({(3 x)}^{2} - 4) = 0$

ステップ 1.4

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$(x + 1) ({(3 x)}^{2} - 2^{2}) = 0$

ステップ 1.5

因数分解。

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ステップ 1.5.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 3 x$ であり、 $b = 2$ です。

$(x + 1) ((3 x + 2) (3 x - 2)) = 0$

ステップ 1.5.2

不要な括弧を削除します。

$(x + 1) (3 x + 2) (3 x - 2) = 0$

ステップ 2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x + 1 = 0$

$3 x + 2 = 0$

$3 x - 2 = 0$

ステップ 3

$x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.1

$x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x + 1 = 0$

ステップ 3.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 4

$3 x + 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.1

$3 x + 2$ が $0$ に等しいとします。

$3 x + 2 = 0$

ステップ 4.2

$x$ について $3 x + 2 = 0$ を解きます。

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ステップ 4.2.1

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$3 x = - 2$

ステップ 4.2.2

$3 x = - 2$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

$3 x = - 2$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

ステップ 4.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.2.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

ステップ 4.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 2}{3}$

ステップ 4.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.2.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{2}{3}$

ステップ 5

$3 x - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 5.1

$3 x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$3 x - 2 = 0$

ステップ 5.2

$x$ について $3 x - 2 = 0$ を解きます。

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ステップ 5.2.1

方程式の両辺に $2$ を足します。

$3 x = 2$

ステップ 5.2.2

$3 x = 2$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

$3 x = 2$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

ステップ 5.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

ステップ 5.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{2}{3}$

ステップ 6

最終解は $(x + 1) (3 x + 2) (3 x - 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 1, - \frac{2}{3}, \frac{2}{3}$

ステップ 7

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$x = - 1, - \frac{2}{3}, \frac{2}{3}$

10進法形式：

$x = - 1, - 0.\overline{6}, 0.\overline{6}$

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