有限数学例

$y^{3} + 3 y^{2} = 25 y + 75$

ステップ 1

方程式の両辺から $25 y$ を引きます。

$y^{3} + 3 y^{2} - 25 y = 75$

ステップ 2

方程式の両辺から $75$ を引きます。

$y^{3} + 3 y^{2} - 25 y - 75 = 0$

ステップ 3

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 3.1

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 3.1.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(y^{3} + 3 y^{2}) - 25 y - 75 = 0$

ステップ 3.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$y^{2} (y + 3) - 25 (y + 3) = 0$

$y^{2} (y + 3) - 25 (y + 3) = 0$

ステップ 3.2

最大公約数 $y + 3$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(y + 3) (y^{2} - 25) = 0$

ステップ 3.3

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$(y + 3) (y^{2} - 5^{2}) = 0$

ステップ 3.4

因数分解。

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ステップ 3.4.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = y$ であり、 $b = 5$ です。

$(y + 3) ((y + 5) (y - 5)) = 0$

ステップ 3.4.2

不要な括弧を削除します。

$(y + 3) (y + 5) (y - 5) = 0$

$(y + 3) (y + 5) (y - 5) = 0$

$(y + 3) (y + 5) (y - 5) = 0$

ステップ 4

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$y + 3 = 0$

$y + 5 = 0$

$y - 5 = 0$

ステップ 5

$y + 3$ を $0$ に等しくし、 $y$ を解きます。

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ステップ 5.1

$y + 3$ が $0$ に等しいとします。

$y + 3 = 0$

ステップ 5.2

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$y = - 3$

$y = - 3$

ステップ 6

$y + 5$ を $0$ に等しくし、 $y$ を解きます。

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ステップ 6.1

$y + 5$ が $0$ に等しいとします。

$y + 5 = 0$

ステップ 6.2

方程式の両辺から $5$ を引きます。

$y = - 5$

$y = - 5$

ステップ 7

$y - 5$ を $0$ に等しくし、 $y$ を解きます。

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ステップ 7.1

$y - 5$ が $0$ に等しいとします。

$y - 5 = 0$

ステップ 7.2

方程式の両辺に $5$ を足します。

$y = 5$

$y = 5$

ステップ 8

最終解は $(y + 3) (y + 5) (y - 5) = 0$ を真にするすべての値です。

$y = - 3, - 5, 5$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$