有限数学例

$\sqrt{2 y} + 6 + 7 = y + 6$

ステップ 1

$\sqrt{2 y}$ について解きます。

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ステップ 1.1

$6$ と $7$ をたし算します。

$\sqrt{2 y} + 13 = y + 6$

ステップ 1.2

$\sqrt{2 y}$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 1.2.1

方程式の両辺から $13$ を引きます。

$\sqrt{2 y} = y + 6 - 13$

ステップ 1.2.2

$6$ から $13$ を引きます。

$\sqrt{2 y} = y - 7$

ステップ 2

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${\sqrt{2 y}}^{2} = {(y - 7)}^{2}$

ステップ 3

方程式の各辺を簡約します。

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ステップ 3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2 y}$ を ${(2 y)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${({(2 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(y - 7)}^{2}$

ステップ 3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

${({(2 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

${({(2 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(2 y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(y - 7)}^{2}$

ステップ 3.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${(2 y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(y - 7)}^{2}$

ステップ 3.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

${(2 y)}^{1} = {(y - 7)}^{2}$

ステップ 3.2.1.2

簡約します。

$2 y = {(y - 7)}^{2}$

ステップ 3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.3.1

${(y - 7)}^{2}$ を簡約します。

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ステップ 3.3.1.1

${(y - 7)}^{2}$ を $(y - 7) (y - 7)$ に書き換えます。

$2 y = (y - 7) (y - 7)$

ステップ 3.3.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(y - 7) (y - 7)$ を展開します。

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ステップ 3.3.1.2.1

分配則を当てはめます。

$2 y = y (y - 7) - 7 (y - 7)$

ステップ 3.3.1.2.2

分配則を当てはめます。

$2 y = y \cdot y + y \cdot - 7 - 7 (y - 7)$

ステップ 3.3.1.2.3

分配則を当てはめます。

$2 y = y \cdot y + y \cdot - 7 - 7 y - 7 \cdot - 7$

ステップ 3.3.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 3.3.1.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.3.1.3.1.1

$y$ に $y$ をかけます。

$2 y = y^{2} + y \cdot - 7 - 7 y - 7 \cdot - 7$

ステップ 3.3.1.3.1.2

$- 7$ を $y$ の左に移動させます。

$2 y = y^{2} - 7 \cdot y - 7 y - 7 \cdot - 7$

ステップ 3.3.1.3.1.3

$- 7$ に $- 7$ をかけます。

$2 y = y^{2} - 7 y - 7 y + 49$

ステップ 3.3.1.3.2

$- 7 y$ から $7 y$ を引きます。

$2 y = y^{2} - 14 y + 49$

ステップ 4

$y$ について解きます。

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ステップ 4.1

$y$ が方程式の右辺にあるので、両辺を入れ替えると左辺になります。

$y^{2} - 14 y + 49 = 2 y$

ステップ 4.2

$y$ を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

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ステップ 4.2.1

方程式の両辺から $2 y$ を引きます。

$y^{2} - 14 y + 49 - 2 y = 0$

ステップ 4.2.2

$- 14 y$ から $2 y$ を引きます。

$y^{2} - 16 y + 49 = 0$

ステップ 4.3

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 4.4

$a = 1$ 、 $b = - 16$ 、および $c = 49$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $y$ の値を求めます。

$\frac{16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 49)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.5

簡約します。

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ステップ 4.5.1

分子を簡約します。

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ステップ 4.5.1.1

$- 16$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 1 \cdot 49}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.5.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 49$ を掛けます。

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ステップ 4.5.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 49}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.5.1.2.2

$- 4$ に $49$ をかけます。

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 196}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.5.1.3

$256$ から $196$ を引きます。

$y = \frac{16 \pm \sqrt{60}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.5.1.4

$60$ を $2^{2} \cdot 15$ に書き換えます。

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ステップ 4.5.1.4.1

$4$ を $60$ で因数分解します。

$y = \frac{16 \pm \sqrt{4 (15)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.5.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{16 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 15}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.5.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \frac{16 \pm 2 \sqrt{15}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.5.2

$2$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{16 \pm 2 \sqrt{15}}{2}$

ステップ 4.5.3

$\frac{16 \pm 2 \sqrt{15}}{2}$ を簡約します。

$y = 8 \pm \sqrt{15}$

ステップ 4.6

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$y = 8 + \sqrt{15}, 8 - \sqrt{15}$

ステップ 5

$\sqrt{2 y} + 6 + 7 = y + 6$ が真にならない解を除外します。

$y = 8 + \sqrt{15}$

ステップ 6

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$y = 8 + \sqrt{15}$

10進法形式：

$y = 11.87298334 \dots$

有限数学 例

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