有限数学例

$\frac{a + 2}{a^{2} - 9} - \frac{2 a}{6 a^{2} - 17 a - 3}$

ステップ 1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1

分母を簡約します。

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ステップ 1.1.1

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$\frac{a + 2}{a^{2} - 3^{2}} - \frac{2 a}{6 a^{2} - 17 a - 3}$

ステップ 1.1.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = a$ であり、 $b = 3$ です。

$\frac{a + 2}{(a + 3) (a - 3)} - \frac{2 a}{6 a^{2} - 17 a - 3}$

ステップ 1.2

群による因数分解。

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ステップ 1.2.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 6 \cdot - 3 = - 18$ で和が $b = - 17$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 1.2.1.1

$- 17$ を $- 17 a$ で因数分解します。

$\frac{a + 2}{(a + 3) (a - 3)} - \frac{2 a}{6 a^{2} - 17 (a) - 3}$

ステップ 1.2.1.2

$- 17$ を $1$ プラス $- 18$ に書き換える

$\frac{a + 2}{(a + 3) (a - 3)} - \frac{2 a}{6 a^{2} + (1 - 18) a - 3}$

ステップ 1.2.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{a + 2}{(a + 3) (a - 3)} - \frac{2 a}{6 a^{2} + 1 a - 18 a - 3}$

ステップ 1.2.1.4

$a$ に $1$ をかけます。

$\frac{a + 2}{(a + 3) (a - 3)} - \frac{2 a}{6 a^{2} + a - 18 a - 3}$

ステップ 1.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 1.2.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$\frac{a + 2}{(a + 3) (a - 3)} - \frac{2 a}{(6 a^{2} + a) - 18 a - 3}$

ステップ 1.2.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$\frac{a + 2}{(a + 3) (a - 3)} - \frac{2 a}{a (6 a + 1) - 3 (6 a + 1)}$

ステップ 1.2.3

最大公約数 $6 a + 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$\frac{a + 2}{(a + 3) (a - 3)} - \frac{2 a}{(6 a + 1) (a - 3)}$

ステップ 2

$\frac{a + 2}{(a + 3) (a - 3)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{6 a + 1}{6 a + 1}$ を掛けます。

$\frac{a + 2}{(a + 3) (a - 3)} \cdot \frac{6 a + 1}{6 a + 1} - \frac{2 a}{(6 a + 1) (a - 3)}$

ステップ 3

$- \frac{2 a}{(6 a + 1) (a - 3)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{a + 3}{a + 3}$ を掛けます。

$\frac{a + 2}{(a + 3) (a - 3)} \cdot \frac{6 a + 1}{6 a + 1} - \frac{2 a}{(6 a + 1) (a - 3)} \cdot \frac{a + 3}{a + 3}$

ステップ 4

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(a + 3) (a - 3) (6 a + 1)$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 4.1

$\frac{a + 2}{(a + 3) (a - 3)}$ に $\frac{6 a + 1}{6 a + 1}$ をかけます。

$\frac{(a + 2) (6 a + 1)}{(a + 3) (a - 3) (6 a + 1)} - \frac{2 a}{(6 a + 1) (a - 3)} \cdot \frac{a + 3}{a + 3}$

ステップ 4.2

$\frac{2 a}{(6 a + 1) (a - 3)}$ に $\frac{a + 3}{a + 3}$ をかけます。

$\frac{(a + 2) (6 a + 1)}{(a + 3) (a - 3) (6 a + 1)} - \frac{2 a (a + 3)}{(6 a + 1) (a - 3) (a + 3)}$

ステップ 4.3

$(a + 3) (a - 3) (6 a + 1)$ の因数を並べ替えます。

$\frac{(a + 2) (6 a + 1)}{(6 a + 1) (a + 3) (a - 3)} - \frac{2 a (a + 3)}{(6 a + 1) (a - 3) (a + 3)}$

ステップ 4.4

$(6 a + 1) (a - 3) (a + 3)$ の因数を並べ替えます。

$\frac{(a + 2) (6 a + 1)}{(6 a + 1) (a + 3) (a - 3)} - \frac{2 a (a + 3)}{(6 a + 1) (a + 3) (a - 3)}$

ステップ 5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{(a + 2) (6 a + 1) - 2 a (a + 3)}{(6 a + 1) (a + 3) (a - 3)}$

ステップ 6

分子を簡約します。

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ステップ 6.1

分配法則（FOIL法）を使って $(a + 2) (6 a + 1)$ を展開します。

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ステップ 6.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{a (6 a + 1) + 2 (6 a + 1) - 2 a (a + 3)}{(6 a + 1) (a + 3) (a - 3)}$

ステップ 6.1.2

分配則を当てはめます。

$\frac{a (6 a) + a \cdot 1 + 2 (6 a + 1) - 2 a (a + 3)}{(6 a + 1) (a + 3) (a - 3)}$

ステップ 6.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{a (6 a) + a \cdot 1 + 2 (6 a) + 2 \cdot 1 - 2 a (a + 3)}{(6 a + 1) (a + 3) (a - 3)}$

ステップ 6.2

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.2.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{6 a \cdot a + a \cdot 1 + 2 (6 a) + 2 \cdot 1 - 2 a (a + 3)}{(6 a + 1) (a + 3) (a - 3)}$

ステップ 6.2.1.2

指数を足して $a$ に $a$ を掛けます。

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ステップ 6.2.1.2.1

$a$ を移動させます。

$\frac{6 (a \cdot a) + a \cdot 1 + 2 (6 a) + 2 \cdot 1 - 2 a (a + 3)}{(6 a + 1) (a + 3) (a - 3)}$

ステップ 6.2.1.2.2

$a$ に $a$ をかけます。

$\frac{6 a^{2} + a \cdot 1 + 2 (6 a) + 2 \cdot 1 - 2 a (a + 3)}{(6 a + 1) (a + 3) (a - 3)}$

ステップ 6.2.1.3

$a$ に $1$ をかけます。

$\frac{6 a^{2} + a + 2 (6 a) + 2 \cdot 1 - 2 a (a + 3)}{(6 a + 1) (a + 3) (a - 3)}$

ステップ 6.2.1.4

$6$ に $2$ をかけます。

$\frac{6 a^{2} + a + 12 a + 2 \cdot 1 - 2 a (a + 3)}{(6 a + 1) (a + 3) (a - 3)}$

ステップ 6.2.1.5

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{6 a^{2} + a + 12 a + 2 - 2 a (a + 3)}{(6 a + 1) (a + 3) (a - 3)}$

ステップ 6.2.2

$a$ と $12 a$ をたし算します。

$\frac{6 a^{2} + 13 a + 2 - 2 a (a + 3)}{(6 a + 1) (a + 3) (a - 3)}$

ステップ 6.3

分配則を当てはめます。

$\frac{6 a^{2} + 13 a + 2 - 2 a \cdot a - 2 a \cdot 3}{(6 a + 1) (a + 3) (a - 3)}$

ステップ 6.4

指数を足して $a$ に $a$ を掛けます。

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ステップ 6.4.1

$a$ を移動させます。

$\frac{6 a^{2} + 13 a + 2 - 2 (a \cdot a) - 2 a \cdot 3}{(6 a + 1) (a + 3) (a - 3)}$

ステップ 6.4.2

$a$ に $a$ をかけます。

$\frac{6 a^{2} + 13 a + 2 - 2 a^{2} - 2 a \cdot 3}{(6 a + 1) (a + 3) (a - 3)}$

ステップ 6.5

$3$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{6 a^{2} + 13 a + 2 - 2 a^{2} - 6 a}{(6 a + 1) (a + 3) (a - 3)}$

ステップ 6.6

$6 a^{2}$ から $2 a^{2}$ を引きます。

$\frac{4 a^{2} + 13 a + 2 - 6 a}{(6 a + 1) (a + 3) (a - 3)}$

ステップ 6.7

$13 a$ から $6 a$ を引きます。

$\frac{4 a^{2} + 7 a + 2}{(6 a + 1) (a + 3) (a - 3)}$

有限数学 例

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