有限数学例

$\frac{x + 5}{x^{2} + x - 12} - \frac{x - 7}{x^{2} + 7 x + 12}$

ステップ 1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1

たすき掛けを利用して $x^{2} + x - 12$ を因数分解します。

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ステップ 1.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 12$ で、その和が $1$ です。

$- 3, 4$

ステップ 1.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$\frac{x + 5}{(x - 3) (x + 4)} - \frac{x - 7}{x^{2} + 7 x + 12}$

ステップ 1.2

たすき掛けを利用して $x^{2} + 7 x + 12$ を因数分解します。

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ステップ 1.2.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $12$ で、その和が $7$ です。

$3, 4$

ステップ 1.2.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$\frac{x + 5}{(x - 3) (x + 4)} - \frac{x - 7}{(x + 3) (x + 4)}$

ステップ 2

$\frac{x + 5}{(x - 3) (x + 4)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x + 3}{x + 3}$ を掛けます。

$\frac{x + 5}{(x - 3) (x + 4)} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} - \frac{x - 7}{(x + 3) (x + 4)}$

ステップ 3

$- \frac{x - 7}{(x + 3) (x + 4)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x - 3}{x - 3}$ を掛けます。

$\frac{x + 5}{(x - 3) (x + 4)} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} - \frac{x - 7}{(x + 3) (x + 4)} \cdot \frac{x - 3}{x - 3}$

ステップ 4

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(x - 3) (x + 4) (x + 3)$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 4.1

$\frac{x + 5}{(x - 3) (x + 4)}$ に $\frac{x + 3}{x + 3}$ をかけます。

$\frac{(x + 5) (x + 3)}{(x - 3) (x + 4) (x + 3)} - \frac{x - 7}{(x + 3) (x + 4)} \cdot \frac{x - 3}{x - 3}$

ステップ 4.2

$\frac{x - 7}{(x + 3) (x + 4)}$ に $\frac{x - 3}{x - 3}$ をかけます。

$\frac{(x + 5) (x + 3)}{(x - 3) (x + 4) (x + 3)} - \frac{(x - 7) (x - 3)}{(x + 3) (x + 4) (x - 3)}$

ステップ 4.3

$(x - 3) (x + 4) (x + 3)$ の因数を並べ替えます。

$\frac{(x + 5) (x + 3)}{(x + 3) (x + 4) (x - 3)} - \frac{(x - 7) (x - 3)}{(x + 3) (x + 4) (x - 3)}$

ステップ 5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{(x + 5) (x + 3) - (x - 7) (x - 3)}{(x + 3) (x + 4) (x - 3)}$

ステップ 6

分子を簡約します。

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ステップ 6.1

分配法則（FOIL法）を使って $(x + 5) (x + 3)$ を展開します。

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ステップ 6.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x (x + 3) + 5 (x + 3) - (x - 7) (x - 3)}{(x + 3) (x + 4) (x - 3)}$

ステップ 6.1.2

分配則を当てはめます。

$\frac{x \cdot x + x \cdot 3 + 5 (x + 3) - (x - 7) (x - 3)}{(x + 3) (x + 4) (x - 3)}$

ステップ 6.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{x \cdot x + x \cdot 3 + 5 x + 5 \cdot 3 - (x - 7) (x - 3)}{(x + 3) (x + 4) (x - 3)}$

ステップ 6.2

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.2.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{x^{2} + x \cdot 3 + 5 x + 5 \cdot 3 - (x - 7) (x - 3)}{(x + 3) (x + 4) (x - 3)}$

ステップ 6.2.1.2

$3$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{x^{2} + 3 \cdot x + 5 x + 5 \cdot 3 - (x - 7) (x - 3)}{(x + 3) (x + 4) (x - 3)}$

ステップ 6.2.1.3

$5$ に $3$ をかけます。

$\frac{x^{2} + 3 x + 5 x + 15 - (x - 7) (x - 3)}{(x + 3) (x + 4) (x - 3)}$

ステップ 6.2.2

$3 x$ と $5 x$ をたし算します。

$\frac{x^{2} + 8 x + 15 - (x - 7) (x - 3)}{(x + 3) (x + 4) (x - 3)}$

ステップ 6.3

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{2} + 8 x + 15 + (- x - - 7) (x - 3)}{(x + 3) (x + 4) (x - 3)}$

ステップ 6.4

$- 1$ に $- 7$ をかけます。

$\frac{x^{2} + 8 x + 15 + (- x + 7) (x - 3)}{(x + 3) (x + 4) (x - 3)}$

ステップ 6.5

分配法則（FOIL法）を使って $(- x + 7) (x - 3)$ を展開します。

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ステップ 6.5.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{2} + 8 x + 15 - x (x - 3) + 7 (x - 3)}{(x + 3) (x + 4) (x - 3)}$

ステップ 6.5.2

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{2} + 8 x + 15 - x \cdot x - x \cdot - 3 + 7 (x - 3)}{(x + 3) (x + 4) (x - 3)}$

ステップ 6.5.3

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{2} + 8 x + 15 - x \cdot x - x \cdot - 3 + 7 x + 7 \cdot - 3}{(x + 3) (x + 4) (x - 3)}$

ステップ 6.6

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 6.6.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.6.1.1

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 6.6.1.1.1

$x$ を移動させます。

$\frac{x^{2} + 8 x + 15 - (x \cdot x) - x \cdot - 3 + 7 x + 7 \cdot - 3}{(x + 3) (x + 4) (x - 3)}$

ステップ 6.6.1.1.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{x^{2} + 8 x + 15 - x^{2} - x \cdot - 3 + 7 x + 7 \cdot - 3}{(x + 3) (x + 4) (x - 3)}$

ステップ 6.6.1.2

$- 3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{x^{2} + 8 x + 15 - x^{2} + 3 x + 7 x + 7 \cdot - 3}{(x + 3) (x + 4) (x - 3)}$

ステップ 6.6.1.3

$7$ に $- 3$ をかけます。

$\frac{x^{2} + 8 x + 15 - x^{2} + 3 x + 7 x - 21}{(x + 3) (x + 4) (x - 3)}$

ステップ 6.6.2

$3 x$ と $7 x$ をたし算します。

$\frac{x^{2} + 8 x + 15 - x^{2} + 10 x - 21}{(x + 3) (x + 4) (x - 3)}$

ステップ 6.7

$x^{2}$ から $x^{2}$ を引きます。

$\frac{8 x + 15 + 0 + 10 x - 21}{(x + 3) (x + 4) (x - 3)}$

ステップ 6.8

$8 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{8 x + 15 + 10 x - 21}{(x + 3) (x + 4) (x - 3)}$

ステップ 6.9

$8 x$ と $10 x$ をたし算します。

$\frac{18 x + 15 - 21}{(x + 3) (x + 4) (x - 3)}$

ステップ 6.10

$15$ から $21$ を引きます。

$\frac{18 x - 6}{(x + 3) (x + 4) (x - 3)}$

ステップ 6.11

$6$ を $18 x - 6$ で因数分解します。

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ステップ 6.11.1

$6$ を $18 x$ で因数分解します。

$\frac{6 (3 x) - 6}{(x + 3) (x + 4) (x - 3)}$

ステップ 6.11.2

$6$ を $- 6$ で因数分解します。

$\frac{6 (3 x) + 6 (- 1)}{(x + 3) (x + 4) (x - 3)}$

ステップ 6.11.3

$6$ を $6 (3 x) + 6 (- 1)$ で因数分解します。

$\frac{6 (3 x - 1)}{(x + 3) (x + 4) (x - 3)}$

有限数学 例

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