有限数学例

$1 + \frac{1}{\frac{z}{z - \frac{1}{z}}}$

ステップ 1

項を簡約します。

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ステップ 1.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$1 + 1 \frac{z - \frac{1}{z}}{z}$

ステップ 1.1.2

$\frac{z - \frac{1}{z}}{z}$ に $1$ をかけます。

$1 + \frac{z - \frac{1}{z}}{z}$

ステップ 1.1.3

分子を簡約します。

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ステップ 1.1.3.1

$z$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{z}{z}$ を掛けます。

$1 + \frac{\frac{z \cdot z}{z} - \frac{1}{z}}{z}$

ステップ 1.1.3.2

公分母の分子をまとめます。

$1 + \frac{\frac{z \cdot z - 1}{z}}{z}$

ステップ 1.1.3.3

因数分解した形で $\frac{z \cdot z - 1}{z}$ を書き換えます。

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ステップ 1.1.3.3.1

$z$ を $1$ 乗します。

$1 + \frac{\frac{z^{1} z - 1}{z}}{z}$

ステップ 1.1.3.3.2

$z$ を $1$ 乗します。

$1 + \frac{\frac{z^{1} z^{1} - 1}{z}}{z}$

ステップ 1.1.3.3.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$1 + \frac{\frac{z^{1 + 1} - 1}{z}}{z}$

ステップ 1.1.3.3.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$1 + \frac{\frac{z^{2} - 1}{z}}{z}$

ステップ 1.1.3.3.5

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$1 + \frac{\frac{z^{2} - 1^{2}}{z}}{z}$

ステップ 1.1.3.3.6

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = z$ であり、 $b = 1$ です。

$1 + \frac{\frac{(z + 1) (z - 1)}{z}}{z}$

ステップ 1.1.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$1 + \frac{(z + 1) (z - 1)}{z} \cdot \frac{1}{z}$

ステップ 1.1.5

$\frac{(z + 1) (z - 1)}{z} \cdot \frac{1}{z}$ を掛けます。

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ステップ 1.1.5.1

$\frac{(z + 1) (z - 1)}{z}$ に $\frac{1}{z}$ をかけます。

$1 + \frac{(z + 1) (z - 1)}{z \cdot z}$

ステップ 1.1.5.2

$z$ を $1$ 乗します。

$1 + \frac{(z + 1) (z - 1)}{z^{1} z}$

ステップ 1.1.5.3

$z$ を $1$ 乗します。

$1 + \frac{(z + 1) (z - 1)}{z^{1} z^{1}}$

ステップ 1.1.5.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$1 + \frac{(z + 1) (z - 1)}{z^{1 + 1}}$

ステップ 1.1.5.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$1 + \frac{(z + 1) (z - 1)}{z^{2}}$

ステップ 1.2

1つの分数にまとめます。

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ステップ 1.2.1

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{z^{2}}{z^{2}} + \frac{(z + 1) (z - 1)}{z^{2}}$

ステップ 1.2.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{z^{2} + (z + 1) (z - 1)}{z^{2}}$

ステップ 2

分子を簡約します。

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ステップ 2.1

分配法則（FOIL法）を使って $(z + 1) (z - 1)$ を展開します。

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ステップ 2.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{z^{2} + z (z - 1) + 1 (z - 1)}{z^{2}}$

ステップ 2.1.2

分配則を当てはめます。

$\frac{z^{2} + z \cdot z + z \cdot - 1 + 1 (z - 1)}{z^{2}}$

ステップ 2.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{z^{2} + z \cdot z + z \cdot - 1 + 1 z + 1 \cdot - 1}{z^{2}}$

ステップ 2.2

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.2.1.1

$z$ に $z$ をかけます。

$\frac{z^{2} + z^{2} + z \cdot - 1 + 1 z + 1 \cdot - 1}{z^{2}}$

ステップ 2.2.1.2

$- 1$ を $z$ の左に移動させます。

$\frac{z^{2} + z^{2} - 1 \cdot z + 1 z + 1 \cdot - 1}{z^{2}}$

ステップ 2.2.1.3

$- 1 z$ を $- z$ に書き換えます。

$\frac{z^{2} + z^{2} - z + 1 z + 1 \cdot - 1}{z^{2}}$

ステップ 2.2.1.4

$z$ に $1$ をかけます。

$\frac{z^{2} + z^{2} - z + z + 1 \cdot - 1}{z^{2}}$

ステップ 2.2.1.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{z^{2} + z^{2} - z + z - 1}{z^{2}}$

ステップ 2.2.2

$- z$ と $z$ をたし算します。

$\frac{z^{2} + z^{2} + 0 - 1}{z^{2}}$

ステップ 2.2.3

$z^{2}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{z^{2} + z^{2} - 1}{z^{2}}$

ステップ 2.3

$z^{2}$ と $z^{2}$ をたし算します。

$\frac{2 z^{2} - 1}{z^{2}}$

有限数学 例

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