有限数学例

$\frac{- x^{3} + x}{\sqrt{13 - x^{2}}} + 12 x \sqrt{13 - x^{2}}$

ステップ 1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1

分子を簡約します。

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ステップ 1.1.1

$x$ を $- x^{3} + x$ で因数分解します。

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ステップ 1.1.1.1

$x$ を $- x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{x (- x^{2}) + x}{\sqrt{13 - x^{2}}} + 12 x \sqrt{13 - x^{2}}$

ステップ 1.1.1.2

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{x (- x^{2}) + x^{1}}{\sqrt{13 - x^{2}}} + 12 x \sqrt{13 - x^{2}}$

ステップ 1.1.1.3

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$\frac{x (- x^{2}) + x \cdot 1}{\sqrt{13 - x^{2}}} + 12 x \sqrt{13 - x^{2}}$

ステップ 1.1.1.4

$x$ を $x (- x^{2}) + x \cdot 1$ で因数分解します。

$\frac{x (- x^{2} + 1)}{\sqrt{13 - x^{2}}} + 12 x \sqrt{13 - x^{2}}$

ステップ 1.1.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{x (- x^{2} + 1^{2})}{\sqrt{13 - x^{2}}} + 12 x \sqrt{13 - x^{2}}$

ステップ 1.1.3

$- x^{2}$ と $1^{2}$ を並べ替えます。

$\frac{x (1^{2} - x^{2})}{\sqrt{13 - x^{2}}} + 12 x \sqrt{13 - x^{2}}$

ステップ 1.1.4

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = x$ です。

$\frac{x (1 + x) (1 - x)}{\sqrt{13 - x^{2}}} + 12 x \sqrt{13 - x^{2}}$

ステップ 1.2

$\frac{x (1 + x) (1 - x)}{\sqrt{13 - x^{2}}}$ に $\frac{\sqrt{13 - x^{2}}}{\sqrt{13 - x^{2}}}$ をかけます。

$\frac{x (1 + x) (1 - x)}{\sqrt{13 - x^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{13 - x^{2}}}{\sqrt{13 - x^{2}}} + 12 x \sqrt{13 - x^{2}}$

ステップ 1.3

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 1.3.1

$\frac{x (1 + x) (1 - x)}{\sqrt{13 - x^{2}}}$ に $\frac{\sqrt{13 - x^{2}}}{\sqrt{13 - x^{2}}}$ をかけます。

$\frac{x (1 + x) (1 - x) \sqrt{13 - x^{2}}}{\sqrt{13 - x^{2}} \sqrt{13 - x^{2}}} + 12 x \sqrt{13 - x^{2}}$

ステップ 1.3.2

$\sqrt{13 - x^{2}}$ を $1$ 乗します。

$\frac{x (1 + x) (1 - x) \sqrt{13 - x^{2}}}{{\sqrt{13 - x^{2}}}^{1} \sqrt{13 - x^{2}}} + 12 x \sqrt{13 - x^{2}}$

ステップ 1.3.3

$\sqrt{13 - x^{2}}$ を $1$ 乗します。

$\frac{x (1 + x) (1 - x) \sqrt{13 - x^{2}}}{{\sqrt{13 - x^{2}}}^{1} {\sqrt{13 - x^{2}}}^{1}} + 12 x \sqrt{13 - x^{2}}$

ステップ 1.3.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{x (1 + x) (1 - x) \sqrt{13 - x^{2}}}{{\sqrt{13 - x^{2}}}^{1 + 1}} + 12 x \sqrt{13 - x^{2}}$

ステップ 1.3.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{x (1 + x) (1 - x) \sqrt{13 - x^{2}}}{{\sqrt{13 - x^{2}}}^{2}} + 12 x \sqrt{13 - x^{2}}$

ステップ 1.3.6

${\sqrt{13 - x^{2}}}^{2}$ を $13 - x^{2}$ に書き換えます。

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ステップ 1.3.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{13 - x^{2}}$ を ${(13 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{x (1 + x) (1 - x) \sqrt{13 - x^{2}}}{{({(13 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + 12 x \sqrt{13 - x^{2}}$

ステップ 1.3.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{x (1 + x) (1 - x) \sqrt{13 - x^{2}}}{{(13 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + 12 x \sqrt{13 - x^{2}}$

ステップ 1.3.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{x (1 + x) (1 - x) \sqrt{13 - x^{2}}}{{(13 - x^{2})}^{\frac{2}{2}}} + 12 x \sqrt{13 - x^{2}}$

ステップ 1.3.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.6.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{x (1 + x) (1 - x) \sqrt{13 - x^{2}}}{{(13 - x^{2})}^{\frac{2}{2}}} + 12 x \sqrt{13 - x^{2}}$

ステップ 1.3.6.4.2

式を書き換えます。

$\frac{x (1 + x) (1 - x) \sqrt{13 - x^{2}}}{{(13 - x^{2})}^{1}} + 12 x \sqrt{13 - x^{2}}$

ステップ 1.3.6.5

簡約します。

$\frac{x (1 + x) (1 - x) \sqrt{13 - x^{2}}}{13 - x^{2}} + 12 x \sqrt{13 - x^{2}}$

ステップ 2

$12 x \sqrt{13 - x^{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{13 - x^{2}}{13 - x^{2}}$ を掛けます。

$\frac{x (1 + x) (1 - x) \sqrt{13 - x^{2}}}{13 - x^{2}} + \frac{12 x \sqrt{13 - x^{2}} (13 - x^{2})}{13 - x^{2}}$

ステップ 3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{x (1 + x) (1 - x) \sqrt{13 - x^{2}} + 12 x \sqrt{13 - x^{2}} (13 - x^{2})}{13 - x^{2}}$

ステップ 4

分子を簡約します。

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ステップ 4.1

$x \sqrt{13 - x^{2}}$ を $x (1 + x) (1 - x) \sqrt{13 - x^{2}} + 12 x \sqrt{13 - x^{2}} (13 - x^{2})$ で因数分解します。

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ステップ 4.1.1

$x \sqrt{13 - x^{2}}$ を $x (1 + x) (1 - x) \sqrt{13 - x^{2}}$ で因数分解します。

$\frac{x \sqrt{13 - x^{2}} ((1 + x) (1 - x)) + 12 x \sqrt{13 - x^{2}} (13 - x^{2})}{13 - x^{2}}$

ステップ 4.1.2

$x \sqrt{13 - x^{2}}$ を $12 x \sqrt{13 - x^{2}} (13 - x^{2})$ で因数分解します。

$\frac{x \sqrt{13 - x^{2}} ((1 + x) (1 - x)) + x \sqrt{13 - x^{2}} (12 (13 - x^{2}))}{13 - x^{2}}$

ステップ 4.1.3

$x \sqrt{13 - x^{2}}$ を $x \sqrt{13 - x^{2}} ((1 + x) (1 - x)) + x \sqrt{13 - x^{2}} (12 (13 - x^{2}))$ で因数分解します。

$\frac{x \sqrt{13 - x^{2}} ((1 + x) (1 - x) + 12 (13 - x^{2}))}{13 - x^{2}}$

ステップ 4.2

分配法則（FOIL法）を使って $(1 + x) (1 - x)$ を展開します。

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ステップ 4.2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x \sqrt{13 - x^{2}} (1 (1 - x) + x (1 - x) + 12 (13 - x^{2}))}{13 - x^{2}}$

ステップ 4.2.2

分配則を当てはめます。

$\frac{x \sqrt{13 - x^{2}} (1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x) + 12 (13 - x^{2}))}{13 - x^{2}}$

ステップ 4.2.3

分配則を当てはめます。

$\frac{x \sqrt{13 - x^{2}} (1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) + 12 (13 - x^{2}))}{13 - x^{2}}$

ステップ 4.3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 4.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.3.1.1

$1$ に $1$ をかけます。

$\frac{x \sqrt{13 - x^{2}} (1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) + 12 (13 - x^{2}))}{13 - x^{2}}$

ステップ 4.3.1.2

$- x$ に $1$ をかけます。

$\frac{x \sqrt{13 - x^{2}} (1 - x + x \cdot 1 + x (- x) + 12 (13 - x^{2}))}{13 - x^{2}}$

ステップ 4.3.1.3

$x$ に $1$ をかけます。

$\frac{x \sqrt{13 - x^{2}} (1 - x + x + x (- x) + 12 (13 - x^{2}))}{13 - x^{2}}$

ステップ 4.3.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{x \sqrt{13 - x^{2}} (1 - x + x - x \cdot x + 12 (13 - x^{2}))}{13 - x^{2}}$

ステップ 4.3.1.5

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 4.3.1.5.1

$x$ を移動させます。

$\frac{x \sqrt{13 - x^{2}} (1 - x + x - (x \cdot x) + 12 (13 - x^{2}))}{13 - x^{2}}$

ステップ 4.3.1.5.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{x \sqrt{13 - x^{2}} (1 - x + x - x^{2} + 12 (13 - x^{2}))}{13 - x^{2}}$

ステップ 4.3.2

$- x$ と $x$ をたし算します。

$\frac{x \sqrt{13 - x^{2}} (1 + 0 - x^{2} + 12 (13 - x^{2}))}{13 - x^{2}}$

ステップ 4.3.3

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x \sqrt{13 - x^{2}} (1 - x^{2} + 12 (13 - x^{2}))}{13 - x^{2}}$

ステップ 4.4

分配則を当てはめます。

$\frac{x \sqrt{13 - x^{2}} (1 - x^{2} + 12 \cdot 13 + 12 (- x^{2}))}{13 - x^{2}}$

ステップ 4.5

$12$ に $13$ をかけます。

$\frac{x \sqrt{13 - x^{2}} (1 - x^{2} + 156 + 12 (- x^{2}))}{13 - x^{2}}$

ステップ 4.6

$- 1$ に $12$ をかけます。

$\frac{x \sqrt{13 - x^{2}} (1 - x^{2} + 156 - 12 x^{2})}{13 - x^{2}}$

ステップ 4.7

$1$ と $156$ をたし算します。

$\frac{x \sqrt{13 - x^{2}} (- x^{2} + 157 - 12 x^{2})}{13 - x^{2}}$

ステップ 4.8

$- x^{2}$ から $12 x^{2}$ を引きます。

$\frac{x \sqrt{13 - x^{2}} (- 13 x^{2} + 157)}{13 - x^{2}}$

ステップ 5

くくりだして簡約します。

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ステップ 5.1

$- 1$ を $- 13 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{x \sqrt{13 - x^{2}} (- (13 x^{2}) + 157)}{13 - x^{2}}$

ステップ 5.2

$157$ を $- 1 (- 157)$ に書き換えます。

$\frac{x \sqrt{13 - x^{2}} (- (13 x^{2}) - 1 (- 157))}{13 - x^{2}}$

ステップ 5.3

$- 1$ を $- (13 x^{2}) - 1 (- 157)$ で因数分解します。

$\frac{x \sqrt{13 - x^{2}} (- (13 x^{2} - 157))}{13 - x^{2}}$

ステップ 5.4

式を簡約します。

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ステップ 5.4.1

$- (13 x^{2} - 157)$ を $- 1 (13 x^{2} - 157)$ に書き換えます。

$\frac{x \sqrt{13 - x^{2}} (- 1 (13 x^{2} - 157))}{13 - x^{2}}$

ステップ 5.4.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{(x \sqrt{13 - x^{2}}) (13 x^{2} - 157)}{13 - x^{2}}$

ステップ 5.4.3

$- \frac{(x \sqrt{13 - x^{2}}) (13 x^{2} - 157)}{13 - x^{2}}$ の因数を並べ替えます。

$- \frac{x \sqrt{13 - x^{2}} (13 x^{2} - 157)}{13 - x^{2}}$

有限数学 例

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