有限数学例

$\frac{6}{50 + 23 x^{2} - x^{4}} - \frac{3}{x^{3} - 5 x^{2} + 2 x - 10}$

ステップ 1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1

分母を簡約します。

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ステップ 1.1.1

群による因数分解。

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ステップ 1.1.1.1

項を並べ替えます。

$\frac{6}{- x^{4} + 23 x^{2} + 50} - \frac{3}{x^{3} - 5 x^{2} + 2 x - 10}$

ステップ 1.1.1.2

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = - 1 \cdot 50 = - 50$ で和が $b = 23$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 1.1.1.2.1

$23$ を $23 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{6}{- x^{4} + 23 (x^{2}) + 50} - \frac{3}{x^{3} - 5 x^{2} + 2 x - 10}$

ステップ 1.1.1.2.2

$23$ を $- 2$ プラス $25$ に書き換える

$\frac{6}{- x^{4} + (- 2 + 25) x^{2} + 50} - \frac{3}{x^{3} - 5 x^{2} + 2 x - 10}$

ステップ 1.1.1.2.3

分配則を当てはめます。

$\frac{6}{- x^{4} - 2 x^{2} + 25 x^{2} + 50} - \frac{3}{x^{3} - 5 x^{2} + 2 x - 10}$

ステップ 1.1.1.3

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 1.1.1.3.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$\frac{6}{(- x^{4} - 2 x^{2}) + 25 x^{2} + 50} - \frac{3}{x^{3} - 5 x^{2} + 2 x - 10}$

ステップ 1.1.1.3.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$\frac{6}{x^{2} (- x^{2} - 2) - 25 (- x^{2} - 2)} - \frac{3}{x^{3} - 5 x^{2} + 2 x - 10}$

ステップ 1.1.1.4

最大公約数 $- x^{2} - 2$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$\frac{6}{(- x^{2} - 2) (x^{2} - 25)} - \frac{3}{x^{3} - 5 x^{2} + 2 x - 10}$

ステップ 1.1.2

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$\frac{6}{(- x^{2} - 2) (x^{2} - 5^{2})} - \frac{3}{x^{3} - 5 x^{2} + 2 x - 10}$

ステップ 1.1.3

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 5$ です。

$\frac{6}{(- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)} - \frac{3}{x^{3} - 5 x^{2} + 2 x - 10}$

ステップ 1.2

分母を簡約します。

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ステップ 1.2.1

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 1.2.1.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$\frac{6}{(- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)} - \frac{3}{(x^{3} - 5 x^{2}) + 2 x - 10}$

ステップ 1.2.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$\frac{6}{(- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)} - \frac{3}{x^{2} (x - 5) + 2 (x - 5)}$

ステップ 1.2.2

最大公約数 $x - 5$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$\frac{6}{(- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)} - \frac{3}{(x - 5) (x^{2} + 2)}$

ステップ 2

くくりだして簡約します。

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ステップ 2.1

$- 1$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{6}{(- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)} - \frac{3}{(x - 5) (- 1 (- x^{2}) + 2)}$

ステップ 2.2

$2$ を $- 1 (- 2)$ に書き換えます。

$\frac{6}{(- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)} - \frac{3}{(x - 5) (- 1 (- x^{2}) - 1 (- 2))}$

ステップ 2.3

$- 1$ を $- 1 (- x^{2}) - 1 (- 2)$ で因数分解します。

$\frac{6}{(- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)} - \frac{3}{(x - 5) (- 1 (- x^{2} - 2))}$

ステップ 3

$\frac{6}{(- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{- 1}{- 1}$ を掛けます。

$\frac{6}{(- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{- 1}{- 1} - \frac{3}{(x - 5) (- 1 (- x^{2} - 2))}$

ステップ 4

$- \frac{3}{(x - 5) (- 1 (- x^{2} - 2))}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x + 5}{x + 5}$ を掛けます。

$\frac{6}{(- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{- 1}{- 1} - \frac{3}{(x - 5) (- 1 (- x^{2} - 2))} \cdot \frac{x + 5}{x + 5}$

ステップ 5

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5) \cdot - 1$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 5.1

$\frac{6}{(- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)}$ に $\frac{- 1}{- 1}$ をかけます。

$\frac{6 \cdot - 1}{(- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5) \cdot - 1} - \frac{3}{(x - 5) (- 1 (- x^{2} - 2))} \cdot \frac{x + 5}{x + 5}$

ステップ 5.2

$\frac{3}{(x - 5) (- 1 (- x^{2} - 2))}$ に $\frac{x + 5}{x + 5}$ をかけます。

$\frac{6 \cdot - 1}{(- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5) \cdot - 1} - \frac{3 (x + 5)}{(x - 5) (- 1 (- x^{2} - 2)) (x + 5)}$

ステップ 5.3

$(- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5) \cdot - 1$ の因数を並べ替えます。

$\frac{6 \cdot - 1}{- (- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)} - \frac{3 (x + 5)}{(x - 5) (- 1 (- x^{2} - 2)) (x + 5)}$

ステップ 5.4

$(x - 5) (- 1 (- x^{2} - 2)) (x + 5)$ の因数を並べ替えます。

$\frac{6 \cdot - 1}{- (- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)} - \frac{3 (x + 5)}{- (- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)}$

ステップ 6

公分母の分子をまとめます。

$\frac{6 \cdot - 1 - 3 (x + 5)}{- (- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)}$

ステップ 7

分子を簡約します。

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ステップ 7.1

$- 3$ を $6 \cdot - 1 - 3 (x + 5)$ で因数分解します。

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ステップ 7.1.1

$6 \cdot - 1$ と $- 3 (x + 5)$ を並べ替えます。

$\frac{- 3 (x + 5) + 6 \cdot - 1}{- (- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)}$

ステップ 7.1.2

$- 3$ を $6 \cdot - 1$ で因数分解します。

$\frac{- 3 (x + 5) - 3 (- 2 \cdot - 1)}{- (- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)}$

ステップ 7.1.3

$- 3$ を $- 3 (x + 5) - 3 (- 2 \cdot - 1)$ で因数分解します。

$\frac{- 3 (x + 5 - 2 \cdot - 1)}{- (- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)}$

ステップ 7.2

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{- 3 (x + 5 + 2)}{- (- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)}$

ステップ 7.3

$5$ と $2$ をたし算します。

$\frac{- 3 (x + 7)}{- (- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)}$

ステップ 8

項を簡約します。

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ステップ 8.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{3 (x + 7)}{((- x^{2} - 2) (x + 5)) (x - 5)}$

ステップ 8.2

$- 1$ を $- x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{3 (x + 7)}{(- (x^{2}) - 2) (x + 5) (x - 5)}$

ステップ 8.3

$- 2$ を $- 1 (2)$ に書き換えます。

$\frac{3 (x + 7)}{(- (x^{2}) - 1 (2)) (x + 5) (x - 5)}$

ステップ 8.4

$- 1$ を $- (x^{2}) - 1 (2)$ で因数分解します。

$\frac{3 (x + 7)}{- (x^{2} + 2) (x + 5) (x - 5)}$

ステップ 8.5

負の数を書き換えます。

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ステップ 8.5.1

$- (x^{2} + 2)$ を $- 1 (x^{2} + 2)$ に書き換えます。

$\frac{3 (x + 7)}{- 1 (x^{2} + 2) (x + 5) (x - 5)}$

ステップ 8.5.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{3 (x + 7)}{((x^{2} + 2) (x + 5)) (x - 5)}$

有限数学 例

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