有限数学例

$\frac{3 x^{3} - 81}{4 x^{2} + 8 x - 60} \cdot \frac{8 x + 16}{6 x^{2} + 18 x + 54}$

ステップ 1

分子を簡約します。

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ステップ 1.1

$3$ を $3 x^{3} - 81$ で因数分解します。

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ステップ 1.1.1

$3$ を $3 x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{3 (x^{3}) - 81}{4 x^{2} + 8 x - 60} \cdot \frac{8 x + 16}{6 x^{2} + 18 x + 54}$

ステップ 1.1.2

$3$ を $- 81$ で因数分解します。

$\frac{3 x^{3} + 3 \cdot - 27}{4 x^{2} + 8 x - 60} \cdot \frac{8 x + 16}{6 x^{2} + 18 x + 54}$

ステップ 1.1.3

$3$ を $3 x^{3} + 3 \cdot - 27$ で因数分解します。

$\frac{3 (x^{3} - 27)}{4 x^{2} + 8 x - 60} \cdot \frac{8 x + 16}{6 x^{2} + 18 x + 54}$

ステップ 1.2

$27$ を $3^{3}$ に書き換えます。

$\frac{3 (x^{3} - 3^{3})}{4 x^{2} + 8 x - 60} \cdot \frac{8 x + 16}{6 x^{2} + 18 x + 54}$

ステップ 1.3

両項とも完全立方なので、立方の差の公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 3$ です。

$\frac{3 ((x - 3) (x^{2} + x \cdot 3 + 3^{2}))}{4 x^{2} + 8 x - 60} \cdot \frac{8 x + 16}{6 x^{2} + 18 x + 54}$

ステップ 1.4

簡約します。

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ステップ 1.4.1

$3$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{3 ((x - 3) (x^{2} + 3 \cdot x + 3^{2}))}{4 x^{2} + 8 x - 60} \cdot \frac{8 x + 16}{6 x^{2} + 18 x + 54}$

ステップ 1.4.2

$3$ を $2$ 乗します。

$\frac{3 ((x - 3) (x^{2} + 3 x + 9))}{4 x^{2} + 8 x - 60} \cdot \frac{8 x + 16}{6 x^{2} + 18 x + 54}$

$\frac{3 (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{4 x^{2} + 8 x - 60} \cdot \frac{8 x + 16}{6 x^{2} + 18 x + 54}$

ステップ 2

分母を簡約します。

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ステップ 2.1

$4$ を $4 x^{2} + 8 x - 60$ で因数分解します。

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ステップ 2.1.1

$4$ を $4 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{3 (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{4 (x^{2}) + 8 x - 60} \cdot \frac{8 x + 16}{6 x^{2} + 18 x + 54}$

ステップ 2.1.2

$4$ を $8 x$ で因数分解します。

$\frac{3 (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{4 (x^{2}) + 4 (2 x) - 60} \cdot \frac{8 x + 16}{6 x^{2} + 18 x + 54}$

ステップ 2.1.3

$4$ を $- 60$ で因数分解します。

$\frac{3 (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{4 x^{2} + 4 (2 x) + 4 \cdot - 15} \cdot \frac{8 x + 16}{6 x^{2} + 18 x + 54}$

ステップ 2.1.4

$4$ を $4 x^{2} + 4 (2 x)$ で因数分解します。

$\frac{3 (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{4 (x^{2} + 2 x) + 4 \cdot - 15} \cdot \frac{8 x + 16}{6 x^{2} + 18 x + 54}$

ステップ 2.1.5

$4$ を $4 (x^{2} + 2 x) + 4 \cdot - 15$ で因数分解します。

$\frac{3 (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{4 (x^{2} + 2 x - 15)} \cdot \frac{8 x + 16}{6 x^{2} + 18 x + 54}$

ステップ 2.2

たすき掛けを利用して $x^{2} + 2 x - 15$ を因数分解します。

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ステップ 2.2.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 15$ で、その和が $2$ です。

$- 3, 5$

ステップ 2.2.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$\frac{3 (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{4 ((x - 3) (x + 5))} \cdot \frac{8 x + 16}{6 x^{2} + 18 x + 54}$

$\frac{3 (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{4 (x - 3) (x + 5)} \cdot \frac{8 x + 16}{6 x^{2} + 18 x + 54}$

ステップ 3

項を簡約します。

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ステップ 3.1

$8$ を $8 x + 16$ で因数分解します。

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ステップ 3.1.1

$8$ を $8 x$ で因数分解します。

$\frac{3 (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{4 (x - 3) (x + 5)} \cdot \frac{8 (x) + 16}{6 x^{2} + 18 x + 54}$

ステップ 3.1.2

$8$ を $16$ で因数分解します。

$\frac{3 (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{4 (x - 3) (x + 5)} \cdot \frac{8 x + 8 \cdot 2}{6 x^{2} + 18 x + 54}$

ステップ 3.1.3

$8$ を $8 x + 8 \cdot 2$ で因数分解します。

$\frac{3 (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{4 (x - 3) (x + 5)} \cdot \frac{8 (x + 2)}{6 x^{2} + 18 x + 54}$

ステップ 3.2

$6$ を $6 x^{2} + 18 x + 54$ で因数分解します。

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ステップ 3.2.1

$6$ を $6 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{3 (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{4 (x - 3) (x + 5)} \cdot \frac{8 (x + 2)}{6 (x^{2}) + 18 x + 54}$

ステップ 3.2.2

$6$ を $18 x$ で因数分解します。

$\frac{3 (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{4 (x - 3) (x + 5)} \cdot \frac{8 (x + 2)}{6 (x^{2}) + 6 (3 x) + 54}$

ステップ 3.2.3

$6$ を $54$ で因数分解します。

$\frac{3 (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{4 (x - 3) (x + 5)} \cdot \frac{8 (x + 2)}{6 x^{2} + 6 (3 x) + 6 \cdot 9}$

ステップ 3.2.4

$6$ を $6 x^{2} + 6 (3 x)$ で因数分解します。

$\frac{3 (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{4 (x - 3) (x + 5)} \cdot \frac{8 (x + 2)}{6 (x^{2} + 3 x) + 6 \cdot 9}$

ステップ 3.2.5

$6$ を $6 (x^{2} + 3 x) + 6 \cdot 9$ で因数分解します。

$\frac{3 (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{4 (x - 3) (x + 5)} \cdot \frac{8 (x + 2)}{6 (x^{2} + 3 x + 9)}$

ステップ 3.3

まとめる。

$\frac{3 (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) (8 (x + 2))}{4 (x - 3) (x + 5) (6 (x^{2} + 3 x + 9))}$

ステップ 3.4

$3$ と $6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.1

$3$ を $3 (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) (8 (x + 2))$ で因数分解します。

$\frac{3 (((x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)) (8 (x + 2)))}{4 (x - 3) (x + 5) (6 (x^{2} + 3 x + 9))}$

ステップ 3.4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.2.1

$3$ を $4 (x - 3) (x + 5) (6 (x^{2} + 3 x + 9))$ で因数分解します。

$\frac{3 (((x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)) (8 (x + 2)))}{3 (4 (x - 3) (x + 5) (2 (x^{2} + 3 x + 9)))}$

ステップ 3.4.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{3 (((x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)) (8 (x + 2)))}{3 (4 (x - 3) (x + 5) (2 (x^{2} + 3 x + 9)))}$

ステップ 3.4.2.3

式を書き換えます。

$\frac{((x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)) (8 (x + 2))}{4 (x - 3) (x + 5) (2 (x^{2} + 3 x + 9))}$

ステップ 3.5

$x - 3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{(x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) (8 (x + 2))}{4 (x - 3) (x + 5) (2 (x^{2} + 3 x + 9))}$

ステップ 3.5.2

式を書き換えます。

$\frac{(x^{2} + 3 x + 9) (8 (x + 2))}{(4 (x + 5)) (2 (x^{2} + 3 x + 9))}$

ステップ 3.6

$x^{2} + 3 x + 9$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.6.1

共通因数を約分します。

$\frac{(x^{2} + 3 x + 9) (8 (x + 2))}{4 (x + 5) (2 (x^{2} + 3 x + 9))}$

ステップ 3.6.2

式を書き換えます。

$\frac{8 (x + 2)}{(4 (x + 5)) \cdot (2)}$

ステップ 3.7

$8$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.7.1

$4$ を $8 (x + 2)$ で因数分解します。

$\frac{4 (2 (x + 2))}{(4 (x + 5)) \cdot (2)}$

ステップ 3.7.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.7.2.1

$4$ を $(4 (x + 5)) \cdot (2)$ で因数分解します。

$\frac{4 (2 (x + 2))}{4 ((x + 5) \cdot (2))}$

ステップ 3.7.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{4 (2 (x + 2))}{4 ((x + 5) \cdot (2))}$

ステップ 3.7.2.3

式を書き換えます。

$\frac{2 (x + 2)}{(x + 5) \cdot (2)}$

ステップ 3.8

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.8.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 (x + 2)}{(x + 5) \cdot 2}$

ステップ 3.8.2

式を書き換えます。

$\frac{x + 2}{x + 5}$

有限数学 例

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