有限数学例

$\frac{x + 1}{x - 1} + 2 > 0$

ステップ 1

$\frac{x + 1}{x - 1} + 2$ を簡約します。

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ステップ 1.1

$2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x - 1}{x - 1}$ を掛けます。

$\frac{x + 1}{x - 1} + \frac{2 (x - 1)}{x - 1} > 0$

ステップ 1.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{x + 1 + 2 (x - 1)}{x - 1} > 0$

ステップ 1.3

分子を簡約します。

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ステップ 1.3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x + 1 + 2 x + 2 \cdot - 1}{x - 1} > 0$

ステップ 1.3.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{x + 1 + 2 x - 2}{x - 1} > 0$

ステップ 1.3.3

$x$ と $2 x$ をたし算します。

$\frac{3 x + 1 - 2}{x - 1} > 0$

ステップ 1.3.4

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{3 x - 1}{x - 1} > 0$

ステップ 2

各因数を $0$ に等しくして解くことで、式が負から正に切り替わるすべての値を求めます。

$3 x - 1 = 0$

$x - 1 = 0$

ステップ 3

方程式の両辺に $1$ を足します。

$3 x = 1$

ステップ 4

$3 x = 1$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 4.1

$3 x = 1$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

ステップ 4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

ステップ 4.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{1}{3}$

ステップ 5

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 6

各因数について解き、絶対値式が負から正になる値を求めます。

$x = \frac{1}{3}$

$x = 1$

ステップ 7

解をまとめます。

$x = \frac{1}{3}, 1$

ステップ 8

$\frac{x + 1}{x - 1} + 2$ の定義域を求めます。

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ステップ 8.1

$\frac{x + 1}{x - 1}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x - 1 = 0$

ステップ 8.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 8.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

ステップ 9

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < \frac{1}{3}$

$\frac{1}{3} < x < 1$

$x > 1$

ステップ 10

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 10.1

区間 $x < \frac{1}{3}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 10.1.1

区間 $x < \frac{1}{3}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 10.1.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$\frac{(0) + 1}{(0) - 1} + 2 > 0$

ステップ 10.1.3

左辺 $1$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 10.2

区間 $\frac{1}{3} < x < 1$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 10.2.1

区間 $\frac{1}{3} < x < 1$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0.67$

ステップ 10.2.2

$x$ を元の不等式の $0.67$ で置き換えます。

$\frac{(0.67) + 1}{(0.67) - 1} + 2 > 0$

ステップ 10.2.3

左辺 $- 3.\overline{06}$ は右辺 $0$ より大きくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 10.3

区間 $x > 1$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 10.3.1

区間 $x > 1$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 4$

ステップ 10.3.2

$x$ を元の不等式の $4$ で置き換えます。

$\frac{(4) + 1}{(4) - 1} + 2 > 0$

ステップ 10.3.3

左辺 $3.\overline{6}$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 10.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < \frac{1}{3}$ 真

$\frac{1}{3} < x < 1$ 偽

$x > 1$ 真

$x < \frac{1}{3}$ 真

$\frac{1}{3} < x < 1$ 偽

$x > 1$ 真

ステップ 11

解はすべての真の区間からなります。

$x < \frac{1}{3}$ または $x > 1$

ステップ 12

結果は複数の形で表すことができます。

不等式形：

$x < \frac{1}{3} or x > 1$

区間記号：

$(- \infty, \frac{1}{3}) \cup (1, \infty)$

ステップ 13

有限数学 例

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