有限数学例

$\frac{2 x^{2} - 7 + 3}{{(x - 2)}^{2} (x + 1)} < 0$

ステップ 1

各因数を $0$ に等しくして解くことで、式が負から正に切り替わるすべての値を求めます。

$2 x^{2} - 7 + 3 = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

$x + 1 = 0$

ステップ 2

$- 7$ と $3$ をたし算します。

$2 x^{2} - 4 = 0$

ステップ 3

方程式の両辺に $4$ を足します。

$2 x^{2} = 4$

ステップ 4

$2 x^{2} = 4$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$2 x^{2} = 4$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{4}{2}$

ステップ 4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{4}{2}$

ステップ 4.2.1.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{4}{2}$

ステップ 4.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$4$ を $2$ で割ります。

$x^{2} = 2$

ステップ 5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{2}$

ステップ 6

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \sqrt{2}$

ステップ 6.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \sqrt{2}$

ステップ 6.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

ステップ 7

$x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x - 2 = 0$

ステップ 8

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 9

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 10

各因数について解き、絶対値式が負から正になる値を求めます。

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

$x = 2$

$x = - 1$

ステップ 11

解をまとめます。

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}, 2, - 1$

ステップ 12

$\frac{2 x^{2} - 7 + 3}{{(x - 2)}^{2} (x + 1)}$ の定義域を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

$\frac{2 x^{2} - 7 + 3}{{(x - 2)}^{2} (x + 1)}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

${(x - 2)}^{2} (x + 1) = 0$

ステップ 12.2

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

${(x - 2)}^{2} = 0$

$x + 1 = 0$

ステップ 12.2.2

${(x - 2)}^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.2.1

${(x - 2)}^{2}$ が $0$ に等しいとします。

${(x - 2)}^{2} = 0$

ステップ 12.2.2.2

$x$ について ${(x - 2)}^{2} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.2.2.1

$x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x - 2 = 0$

ステップ 12.2.2.2.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 12.2.3

$x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.3.1

$x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x + 1 = 0$

ステップ 12.2.3.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 12.2.4

最終解は ${(x - 2)}^{2} (x + 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 2, - 1$

ステップ 12.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 2) \cup (2, \infty)$

ステップ 13

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - \sqrt{2}$

$- \sqrt{2} < x < - 1$

$- 1 < x < \sqrt{2}$

$\sqrt{2} < x < 2$

$x > 2$

ステップ 14

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1

区間 $x < - \sqrt{2}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1.1

区間 $x < - \sqrt{2}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 4$

ステップ 14.1.2

$x$ を元の不等式の $- 4$ で置き換えます。

$\frac{2 {(- 4)}^{2} - 7 + 3}{{((- 4) - 2)}^{2} ((- 4) + 1)} < 0$

ステップ 14.1.3

左辺 $- 0.\overline{259}$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 14.2

区間 $- \sqrt{2} < x < - 1$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.2.1

区間 $- \sqrt{2} < x < - 1$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 1.21$

ステップ 14.2.2

$x$ を元の不等式の $- 1.21$ で置き換えます。

$\frac{2 {(- 1.21)}^{2} - 7 + 3}{{((- 1.21) - 2)}^{2} ((- 1.21) + 1)} < 0$

ステップ 14.2.3

左辺 $0.49531832$ は右辺 $0$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 14.3

区間 $- 1 < x < \sqrt{2}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.3.1

区間 $- 1 < x < \sqrt{2}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 14.3.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$\frac{2 {(0)}^{2} - 7 + 3}{{((0) - 2)}^{2} ((0) + 1)} < 0$

ステップ 14.3.3

左辺 $- 1$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 14.4

区間 $\sqrt{2} < x < 2$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.4.1

区間 $\sqrt{2} < x < 2$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 1.71$

ステップ 14.4.2

$x$ を元の不等式の $1.71$ で置き換えます。

$\frac{2 {(1.71)}^{2} - 7 + 3}{{((1.71) - 2)}^{2} ((1.71) + 1)} < 0$

ステップ 14.4.3

左辺 $8.10930582$ は右辺 $0$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 14.5

区間 $x > 2$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.5.1

区間 $x > 2$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 4$

ステップ 14.5.2

$x$ を元の不等式の $4$ で置き換えます。

$\frac{2 {(4)}^{2} - 7 + 3}{{((4) - 2)}^{2} ((4) + 1)} < 0$

ステップ 14.5.3

左辺 $1.4$ は右辺 $0$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 14.6

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - \sqrt{2}$ 真

$- \sqrt{2} < x < - 1$ 偽

$- 1 < x < \sqrt{2}$ 真

$\sqrt{2} < x < 2$ 偽

$x > 2$ 偽

$x < - \sqrt{2}$ 真

$- \sqrt{2} < x < - 1$ 偽

$- 1 < x < \sqrt{2}$ 真

$\sqrt{2} < x < 2$ 偽

$x > 2$ 偽

ステップ 15

解はすべての真の区間からなります。

$x < - \sqrt{2}$ または $- 1 < x < \sqrt{2}$

ステップ 16

結果は複数の形で表すことができます。

不等式形：

$x < - \sqrt{2} or - 1 < x < \sqrt{2}$

区間記号：

$(- \infty, - \sqrt{2}) \cup (- 1, \sqrt{2})$

ステップ 17

有限数学 例

有限数学例