有限数学例

$\frac{14}{x^{2} - 3 x} - \frac{8}{x} > - \frac{10}{x - 3}$

ステップ 1

不等式の両辺に $\frac{10}{x - 3}$ を足します。

$\frac{14}{x^{2} - 3 x} - \frac{8}{x} + \frac{10}{x - 3} > 0$

ステップ 2

$\frac{14}{x^{2} - 3 x} - \frac{8}{x} + \frac{10}{x - 3}$ を簡約します。

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ステップ 2.1

$x$ を $x^{2} - 3 x$ で因数分解します。

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ステップ 2.1.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{14}{x \cdot x - 3 x} - \frac{8}{x} + \frac{10}{x - 3} > 0$

ステップ 2.1.2

$x$ を $- 3 x$ で因数分解します。

$\frac{14}{x \cdot x + x \cdot - 3} - \frac{8}{x} + \frac{10}{x - 3} > 0$

ステップ 2.1.3

$x$ を $x \cdot x + x \cdot - 3$ で因数分解します。

$\frac{14}{x (x - 3)} - \frac{8}{x} + \frac{10}{x - 3} > 0$

ステップ 2.2

$\frac{10}{x - 3}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x}{x}$ を掛けます。

$\frac{14}{x (x - 3)} + \frac{10}{x - 3} \cdot \frac{x}{x} - \frac{8}{x} > 0$

ステップ 2.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $x (x - 3)$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 2.3.1

$\frac{10}{x - 3}$ に $\frac{x}{x}$ をかけます。

$\frac{14}{x (x - 3)} + \frac{10 x}{(x - 3) x} - \frac{8}{x} > 0$

ステップ 2.3.2

$(x - 3) x$ の因数を並べ替えます。

$\frac{14}{x (x - 3)} + \frac{10 x}{x (x - 3)} - \frac{8}{x} > 0$

ステップ 2.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{14 + 10 x}{x (x - 3)} - \frac{8}{x} > 0$

ステップ 2.5

$2$ を $14 + 10 x$ で因数分解します。

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ステップ 2.5.1

$2$ を $14$ で因数分解します。

$\frac{2 (7) + 10 x}{x (x - 3)} - \frac{8}{x} > 0$

ステップ 2.5.2

$2$ を $10 x$ で因数分解します。

$\frac{2 (7) + 2 (5 x)}{x (x - 3)} - \frac{8}{x} > 0$

ステップ 2.5.3

$2$ を $2 (7) + 2 (5 x)$ で因数分解します。

$\frac{2 (7 + 5 x)}{x (x - 3)} - \frac{8}{x} > 0$

ステップ 2.6

$- \frac{8}{x}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x - 3}{x - 3}$ を掛けます。

$\frac{2 (7 + 5 x)}{x (x - 3)} - \frac{8}{x} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} > 0$

ステップ 2.7

$\frac{8}{x}$ に $\frac{x - 3}{x - 3}$ をかけます。

$\frac{2 (7 + 5 x)}{x (x - 3)} - \frac{8 (x - 3)}{x (x - 3)} > 0$

ステップ 2.8

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 (7 + 5 x) - 8 (x - 3)}{x (x - 3)} > 0$

ステップ 2.9

分子を簡約します。

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ステップ 2.9.1

$2$ を $2 (7 + 5 x) - 8 (x - 3)$ で因数分解します。

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ステップ 2.9.1.1

$2$ を $- 8 (x - 3)$ で因数分解します。

$\frac{2 (7 + 5 x) + 2 (- 4 (x - 3))}{x (x - 3)} > 0$

ステップ 2.9.1.2

$2$ を $2 (7 + 5 x) + 2 (- 4 (x - 3))$ で因数分解します。

$\frac{2 (7 + 5 x - 4 (x - 3))}{x (x - 3)} > 0$

ステップ 2.9.2

分配則を当てはめます。

$\frac{2 (7 + 5 x - 4 x - 4 \cdot - 3)}{x (x - 3)} > 0$

ステップ 2.9.3

$- 4$ に $- 3$ をかけます。

$\frac{2 (7 + 5 x - 4 x + 12)}{x (x - 3)} > 0$

ステップ 2.9.4

$7$ と $12$ をたし算します。

$\frac{2 (5 x - 4 x + 19)}{x (x - 3)} > 0$

ステップ 2.9.5

$5 x$ から $4 x$ を引きます。

$\frac{2 (x + 19)}{x (x - 3)} > 0$

ステップ 3

各因数を $0$ に等しくして解くことで、式が負から正に切り替わるすべての値を求めます。

$x = 0$

$x + 19 = 0$

$x - 3 = 0$

ステップ 4

方程式の両辺から $19$ を引きます。

$x = - 19$

ステップ 5

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x = 3$

ステップ 6

各因数について解き、絶対値式が負から正になる値を求めます。

$x = 0$

$x = - 19$

$x = 3$

ステップ 7

解をまとめます。

$x = 0, - 19, 3$

ステップ 8

$\frac{2 (x + 19)}{x (x - 3)}$ の定義域を求めます。

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ステップ 8.1

$\frac{2 (x + 19)}{x (x - 3)}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x (x - 3) = 0$

ステップ 8.2

$x$ について解きます。

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ステップ 8.2.1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x - 3 = 0$

ステップ 8.2.2

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 8.2.3

$x - 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 8.2.3.1

$x - 3$ が $0$ に等しいとします。

$x - 3 = 0$

ステップ 8.2.3.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x = 3$

ステップ 8.2.4

最終解は $x (x - 3) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, 3$

ステップ 8.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$(- \infty, 0) \cup (0, 3) \cup (3, \infty)$

ステップ 9

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 19$

$- 19 < x < 0$

$0 < x < 3$

$x > 3$

ステップ 10

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 10.1

区間 $x < - 19$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 10.1.1

区間 $x < - 19$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 22$

ステップ 10.1.2

$x$ を元の不等式の $- 22$ で置き換えます。

$\frac{14}{{(- 22)}^{2} - 3 \cdot - 22} - \frac{8}{- 22} > - \frac{10}{(- 22) - 3}$

ステップ 10.1.3

左辺 $0.38\overline{90}$ は右辺 $0.4$ より大きくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 10.2

区間 $- 19 < x < 0$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 10.2.1

区間 $- 19 < x < 0$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 2$

ステップ 10.2.2

$x$ を元の不等式の $- 2$ で置き換えます。

$\frac{14}{{(- 2)}^{2} - 3 \cdot - 2} - \frac{8}{- 2} > - \frac{10}{(- 2) - 3}$

ステップ 10.2.3

左辺 $5.4$ は右辺 $2$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 10.3

区間 $0 < x < 3$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 10.3.1

区間 $0 < x < 3$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 2$

ステップ 10.3.2

$x$ を元の不等式の $2$ で置き換えます。

$\frac{14}{{(2)}^{2} - 3 \cdot 2} - \frac{8}{2} > - \frac{10}{(2) - 3}$

ステップ 10.3.3

左辺 $- 11$ は右辺 $10$ より大きくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 10.4

区間 $x > 3$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 10.4.1

区間 $x > 3$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 6$

ステップ 10.4.2

$x$ を元の不等式の $6$ で置き換えます。

$\frac{14}{{(6)}^{2} - 3 \cdot 6} - \frac{8}{6} > - \frac{10}{(6) - 3}$

ステップ 10.4.3

左辺 $- 0.\overline{5}$ は右辺 $- 3.\overline{3}$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 10.5

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 19$ 偽

$- 19 < x < 0$ 真

$0 < x < 3$ 偽

$x > 3$ 真

$x < - 19$ 偽

$- 19 < x < 0$ 真

$0 < x < 3$ 偽

$x > 3$ 真

ステップ 11

解はすべての真の区間からなります。

$- 19 < x < 0$ または $x > 3$

ステップ 12

結果は複数の形で表すことができます。

不等式形：

$- 19 < x < 0 or x > 3$

区間記号：

$(- 19, 0) \cup (3, \infty)$

ステップ 13

有限数学 例

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