有限数学例

$\log (x - 2) - \log (2 x + 1) = \log (\frac{1}{x})$

ステップ 1

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\log (\frac{x - 2}{2 x + 1}) = \log (\frac{1}{x})$

ステップ 2

方程式を等しくするために、両辺の対数の引数が等しくなる必要があります。

$\frac{x - 2}{2 x + 1} = \frac{1}{x}$

ステップ 3

$x$ について解きます。

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ステップ 3.1

1番目の分数の分子に2番目の分数の分母を掛けます。これを1番目の分数の分母と2番目の分数の分子の積に等しくします。

$(x - 2) x = (2 x + 1) \cdot 1$

ステップ 3.2

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 3.2.1

$(x - 2) x$ を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

書き換えます。

$0 + 0 + (x - 2) x = (2 x + 1) \cdot 1$

ステップ 3.2.1.2

0を加えて簡約します。

$(x - 2) x = (2 x + 1) \cdot 1$

ステップ 3.2.1.3

分配則を当てはめます。

$x \cdot x - 2 x = (2 x + 1) \cdot 1$

ステップ 3.2.1.4

$x$ に $x$ をかけます。

$x^{2} - 2 x = (2 x + 1) \cdot 1$

ステップ 3.2.2

$2 x + 1$ に $1$ をかけます。

$x^{2} - 2 x = 2 x + 1$

ステップ 3.2.3

$x$ を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

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ステップ 3.2.3.1

方程式の両辺から $2 x$ を引きます。

$x^{2} - 2 x - 2 x = 1$

ステップ 3.2.3.2

$- 2 x$ から $2 x$ を引きます。

$x^{2} - 4 x = 1$

ステップ 3.2.4

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x^{2} - 4 x - 1 = 0$

ステップ 3.2.5

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 3.2.6

$a = 1$ 、 $b = - 4$ 、および $c = - 1$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.2.7

簡約します。

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ステップ 3.2.7.1

分子を簡約します。

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ステップ 3.2.7.1.1

$- 4$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.2.7.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ を掛けます。

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ステップ 3.2.7.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.2.7.1.2.2

$- 4$ に $- 1$ をかけます。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.2.7.1.3

$16$ と $4$ をたし算します。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.2.7.1.4

$20$ を $2^{2} \cdot 5$ に書き換えます。

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ステップ 3.2.7.1.4.1

$4$ を $20$ で因数分解します。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.2.7.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.2.7.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.2.7.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$

ステップ 3.2.7.3

$\frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$ を簡約します。

$x = 2 \pm \sqrt{5}$

ステップ 3.2.8

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = 2 + \sqrt{5}, 2 - \sqrt{5}$

ステップ 4

$\log (x - 2) - \log (2 x + 1) = \log (\frac{1}{x})$ が真にならない解を除外します。

$x = 2 + \sqrt{5}$

ステップ 5

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$x = 2 + \sqrt{5}$

10進法形式：

$x = 4.23606797 \dots$

有限数学 例

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