有限数学例

\log (x - 2) - \log (2 x + 1) = \log (\frac{1}{x})

$\log (x - 2) - \log (2 x + 1) = \log (\frac{1}{x})$

ステップ 1

対数の商の性質を使います、

\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})

$\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

\log (\frac{x - 2}{2 x + 1}) = \log (\frac{1}{x})

$\log (\frac{x - 2}{2 x + 1}) = \log (\frac{1}{x})$

ステップ 2

方程式を等しくするために、両辺の対数の引数が等しくなる必要があります。

\frac{x - 2}{2 x + 1} = \frac{1}{x}

$\frac{x - 2}{2 x + 1} = \frac{1}{x}$

ステップ 3

x

$x$ について解きます。

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ステップ 3.1

1番目の分数の分子に2番目の分数の分母を掛けます。これを1番目の分数の分母と2番目の分数の分子の積に等しくします。

(x - 2) x = (2 x + 1) \cdot 1

$(x - 2) x = (2 x + 1) \cdot 1$

ステップ 3.2

x

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 3.2.1

(x - 2) x

$(x - 2) x$ を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

書き換えます。

0 + 0 + (x - 2) x = (2 x + 1) \cdot 1

$0 + 0 + (x - 2) x = (2 x + 1) \cdot 1$

ステップ 3.2.1.2

0を加えて簡約します。

(x - 2) x = (2 x + 1) \cdot 1

$(x - 2) x = (2 x + 1) \cdot 1$

ステップ 3.2.1.3

分配則を当てはめます。

x \cdot x - 2 x = (2 x + 1) \cdot 1

$x \cdot x - 2 x = (2 x + 1) \cdot 1$

ステップ 3.2.1.4

x

$x$ に

x

$x$ をかけます。

x^{2} - 2 x = (2 x + 1) \cdot 1

$x^{2} - 2 x = (2 x + 1) \cdot 1$

x^{2} - 2 x = (2 x + 1) \cdot 1

$x^{2} - 2 x = (2 x + 1) \cdot 1$

ステップ 3.2.2

2 x + 1

$2 x + 1$ に

1

$1$ をかけます。

x^{2} - 2 x = 2 x + 1

$x^{2} - 2 x = 2 x + 1$

ステップ 3.2.3

x

$x$ を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

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ステップ 3.2.3.1

方程式の両辺から

2 x

$2 x$ を引きます。

x^{2} - 2 x - 2 x = 1

$x^{2} - 2 x - 2 x = 1$

ステップ 3.2.3.2

- 2 x

$- 2 x$ から

2 x

$2 x$ を引きます。

x^{2} - 4 x = 1

$x^{2} - 4 x = 1$

x^{2} - 4 x = 1

$x^{2} - 4 x = 1$

ステップ 3.2.4

方程式の両辺から

1

$1$ を引きます。

x^{2} - 4 x - 1 = 0

$x^{2} - 4 x - 1 = 0$

ステップ 3.2.5

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 3.2.6

a = 1

$a = 1$ 、

b = - 4

$b = - 4$ 、および

c = - 1

$c = - 1$ を二次方程式の解の公式に代入し、

x

$x$ の値を求めます。

\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.2.7

簡約します。

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ステップ 3.2.7.1

分子を簡約します。

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ステップ 3.2.7.1.1

- 4

$- 4$ を

2

$2$ 乗します。

x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.2.7.1.2

- 4 \cdot 1 \cdot - 1

$- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.7.1.2.1

- 4

$- 4$ に

1

$1$ をかけます。

x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.2.7.1.2.2

- 4

$- 4$ に

- 1

$- 1$ をかけます。

x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 4}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 4}}{2 \cdot 1}$

x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 4}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.2.7.1.3

16

$16$ と

4

$4$ をたし算します。

x = \frac{4 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{4 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.2.7.1.4

20

$20$ を

2^{2} \cdot 5

$2^{2} \cdot 5$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.7.1.4.1

4

$4$ を

20

$20$ で因数分解します。

x = \frac{4 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.2.7.1.4.2

4

$4$ を

2^{2}

$2^{2}$ に書き換えます。

x = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

x = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.2.7.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.2.7.2

2

$2$ に

1

$1$ をかけます。

x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{2}

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$

ステップ 3.2.7.3

\frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{2}

$\frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$ を簡約します。

x = 2 \pm \sqrt{5}

$x = 2 \pm \sqrt{5}$

x = 2 \pm \sqrt{5}

$x = 2 \pm \sqrt{5}$

ステップ 3.2.8

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

x = 2 + \sqrt{5}, 2 - \sqrt{5}

$x = 2 + \sqrt{5}, 2 - \sqrt{5}$

x = 2 + \sqrt{5}, 2 - \sqrt{5}

$x = 2 + \sqrt{5}, 2 - \sqrt{5}$

x = 2 + \sqrt{5}, 2 - \sqrt{5}

$x = 2 + \sqrt{5}, 2 - \sqrt{5}$

ステップ 4

\log (x - 2) - \log (2 x + 1) = \log (\frac{1}{x})

$\log (x - 2) - \log (2 x + 1) = \log (\frac{1}{x})$ が真にならない解を除外します。

x = 2 + \sqrt{5}

$x = 2 + \sqrt{5}$

ステップ 5

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

x = 2 + \sqrt{5}

$x = 2 + \sqrt{5}$

10進法形式：

x = 4.23606797 \dots

$x = 4.23606797 \dots$

有限数学 例

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