有限数学例

$5 \sin (x) + 2 \cos (x) = 5$

ステップ 1

恒等式を利用して方程式を解きます。この恒等式では、 $θ$ はグラフ上に点 $(a, b)$ をプロットしてできる角度を表しているので、 $θ = \tan^{-1} (\frac{b}{a})$ を利用して求めることができます。

$R = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ および $θ = \tan^{-1} (\frac{b}{a})$ ならば $a \sin (x) + b \cos (x) = R \sin (x + θ)$

ステップ 2

方程式を立て、 $θ$ の値を求めます。

$\tan^{-1} (\frac{2}{5})$

ステップ 3

$\tan^{-1} (\frac{2}{5})$ の値を求めます。

$θ = 0.38050637$

ステップ 4

式を解いて $R$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$5$ を $2$ 乗します。

$R = \sqrt{25 + {(2)}^{2}}$

ステップ 4.2

$2$ を $2$ 乗します。

$R = \sqrt{25 + 4}$

ステップ 4.3

$25$ と $4$ をたし算します。

$R = \sqrt{29}$

ステップ 5

既知数を方程式に代入します。

$(\sqrt{29}) \sin (x + 0.38050637) = 5$

ステップ 6

$\sqrt{29} \sin (x + 0.38050637) = 5$ の各項を $\sqrt{29}$ で割り、簡約します。

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ステップ 6.1

$\sqrt{29} \sin (x + 0.38050637) = 5$ の各項を $\sqrt{29}$ で割ります。

$\frac{\sqrt{29} \sin (x + 0.38050637)}{\sqrt{29}} = \frac{5}{\sqrt{29}}$

ステップ 6.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.2.1

$\sqrt{29}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sqrt{29} \sin (x + 0.38050637)}{\sqrt{29}} = \frac{5}{\sqrt{29}}$

ステップ 6.2.1.2

$\sin (x + 0.38050637)$ を $1$ で割ります。

$\sin (x + 0.38050637) = \frac{5}{\sqrt{29}}$

ステップ 6.3

右辺を簡約します。

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ステップ 6.3.1

$\frac{5}{\sqrt{29}}$ に $\frac{\sqrt{29}}{\sqrt{29}}$ をかけます。

$\sin (x + 0.38050637) = \frac{5}{\sqrt{29}} \cdot \frac{\sqrt{29}}{\sqrt{29}}$

ステップ 6.3.2

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 6.3.2.1

$\frac{5}{\sqrt{29}}$ に $\frac{\sqrt{29}}{\sqrt{29}}$ をかけます。

$\sin (x + 0.38050637) = \frac{5 \sqrt{29}}{\sqrt{29} \sqrt{29}}$

ステップ 6.3.2.2

$\sqrt{29}$ を $1$ 乗します。

$\sin (x + 0.38050637) = \frac{5 \sqrt{29}}{{\sqrt{29}}^{1} \sqrt{29}}$

ステップ 6.3.2.3

$\sqrt{29}$ を $1$ 乗します。

$\sin (x + 0.38050637) = \frac{5 \sqrt{29}}{{\sqrt{29}}^{1} {\sqrt{29}}^{1}}$

ステップ 6.3.2.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\sin (x + 0.38050637) = \frac{5 \sqrt{29}}{{\sqrt{29}}^{1 + 1}}$

ステップ 6.3.2.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\sin (x + 0.38050637) = \frac{5 \sqrt{29}}{{\sqrt{29}}^{2}}$

ステップ 6.3.2.6

${\sqrt{29}}^{2}$ を $29$ に書き換えます。

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ステップ 6.3.2.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{29}$ を $29^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\sin (x + 0.38050637) = \frac{5 \sqrt{29}}{{(29^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 6.3.2.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\sin (x + 0.38050637) = \frac{5 \sqrt{29}}{29^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 6.3.2.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\sin (x + 0.38050637) = \frac{5 \sqrt{29}}{29^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 6.3.2.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.3.2.6.4.1

共通因数を約分します。

$\sin (x + 0.38050637) = \frac{5 \sqrt{29}}{29^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 6.3.2.6.4.2

式を書き換えます。

$\sin (x + 0.38050637) = \frac{5 \sqrt{29}}{29^{1}}$

ステップ 6.3.2.6.5

指数を求めます。

$\sin (x + 0.38050637) = \frac{5 \sqrt{29}}{29}$

ステップ 7

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$x + 0.38050637 = \sin^{-1} (\frac{5 \sqrt{29}}{29})$

ステップ 8

右辺を簡約します。

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ステップ 8.1

$\sin^{-1} (\frac{5 \sqrt{29}}{29})$ の値を求めます。

$x + 0.38050637 = 1.19028994$

ステップ 9

$x$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 9.1

方程式の両辺から $0.38050637$ を引きます。

$x = 1.19028994 - 0.38050637$

ステップ 9.2

$1.19028994$ から $0.38050637$ を引きます。

$x = 0.80978357$

ステップ 10

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$x + 0.38050637 = (3.14159265) - 1.19028994$

ステップ 11

$x$ について解きます。

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ステップ 11.1

$3.14159265$ から $1.19028994$ を引きます。

$x + 0.38050637 = 1.9513027$

ステップ 11.2

$x$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 11.2.1

方程式の両辺から $0.38050637$ を引きます。

$x = 1.9513027 - 0.38050637$

ステップ 11.2.2

$1.9513027$ から $0.38050637$ を引きます。

$x = 1.57079632$

ステップ 12

$\sin (x + 0.38050637)$ の周期を求めます。

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ステップ 12.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 12.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 12.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 12.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 13

$\sin (x + 0.38050637)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = 0.80978357 + 2 π n, 1.57079632 + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

有限数学 例

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