有限数学例

$5 \ln (8 x) = 20 - 2 \ln (x)$

ステップ 1

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$5 \ln (8 x) + 2 \ln (x) = 20$

ステップ 2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.1

$5 \ln (8 x) + 2 \ln (x)$ を簡約します。

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ステップ 2.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.1.1.1

対数の中の $5$ を移動させて $5 \ln (8 x)$ を簡約します。

$\ln ({(8 x)}^{5}) + 2 \ln (x) = 20$

ステップ 2.1.1.2

積の法則を $8 x$ に当てはめます。

$\ln (8^{5} x^{5}) + 2 \ln (x) = 20$

ステップ 2.1.1.3

$8$ を $5$ 乗します。

$\ln (32768 x^{5}) + 2 \ln (x) = 20$

ステップ 2.1.1.4

対数の中の $2$ を移動させて $2 \ln (x)$ を簡約します。

$\ln (32768 x^{5}) + \ln (x^{2}) = 20$

ステップ 2.1.2

対数の積の性質を使います、 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ です。

$\ln (32768 x^{5} x^{2}) = 20$

ステップ 2.1.3

指数を足して $x^{5}$ に $x^{2}$ を掛けます。

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ステップ 2.1.3.1

$x^{2}$ を移動させます。

$\ln (32768 (x^{2} x^{5})) = 20$

ステップ 2.1.3.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\ln (32768 x^{2 + 5}) = 20$

ステップ 2.1.3.3

$2$ と $5$ をたし算します。

$\ln (32768 x^{7}) = 20$

ステップ 3

$x$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (32768 x^{7})} = e^{20}$

ステップ 4

対数の定義を利用して $\ln (32768 x^{7}) = 20$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{20} = 32768 x^{7}$

ステップ 5

$x$ について解きます。

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ステップ 5.1

方程式を $32768 x^{7} = e^{20}$ として書き換えます。

$32768 x^{7} = e^{20}$

ステップ 5.2

$32768 x^{7} = e^{20}$ の各項を $32768$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.2.1

$32768 x^{7} = e^{20}$ の各項を $32768$ で割ります。

$\frac{32768 x^{7}}{32768} = \frac{e^{20}}{32768}$

ステップ 5.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

$32768$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{32768 x^{7}}{32768} = \frac{e^{20}}{32768}$

ステップ 5.2.2.1.2

$x^{7}$ を $1$ で割ります。

$x^{7} = \frac{e^{20}}{32768}$

ステップ 5.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[7]{\frac{e^{20}}{32768}}$

ステップ 5.4

$\sqrt[7]{\frac{e^{20}}{32768}}$ を簡約します。

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ステップ 5.4.1

$\sqrt[7]{\frac{e^{20}}{32768}}$ を $\frac{\sqrt[7]{e^{20}}}{\sqrt[7]{32768}}$ に書き換えます。

$x = \frac{\sqrt[7]{e^{20}}}{\sqrt[7]{32768}}$

ステップ 5.4.2

分子を簡約します。

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ステップ 5.4.2.1

$e^{20}$ を ${(e^{2})}^{7} e^{6}$ に書き換えます。

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ステップ 5.4.2.1.1

$e^{14}$ を因数分解します。

$x = \frac{\sqrt[7]{e^{14} e^{6}}}{\sqrt[7]{32768}}$

ステップ 5.4.2.1.2

$e^{14}$ を ${(e^{2})}^{7}$ に書き換えます。

$x = \frac{\sqrt[7]{{(e^{2})}^{7} e^{6}}}{\sqrt[7]{32768}}$

ステップ 5.4.2.2

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}}}{\sqrt[7]{32768}}$

ステップ 5.4.3

分母を簡約します。

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ステップ 5.4.3.1

$32768$ を $4^{7} \cdot 2$ に書き換えます。

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ステップ 5.4.3.1.1

$16384$ を $32768$ で因数分解します。

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}}}{\sqrt[7]{16384 (2)}}$

ステップ 5.4.3.1.2

$16384$ を $4^{7}$ に書き換えます。

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}}}{\sqrt[7]{4^{7} \cdot 2}}$

ステップ 5.4.3.2

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}}}{4 \sqrt[7]{2}}$

ステップ 5.4.4

$\frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}}}{4 \sqrt[7]{2}}$ に $\frac{{\sqrt[7]{2}}^{6}}{{\sqrt[7]{2}}^{6}}$ をかけます。

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}}}{4 \sqrt[7]{2}} \cdot \frac{{\sqrt[7]{2}}^{6}}{{\sqrt[7]{2}}^{6}}$

ステップ 5.4.5

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 5.4.5.1

$\frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}}}{4 \sqrt[7]{2}}$ に $\frac{{\sqrt[7]{2}}^{6}}{{\sqrt[7]{2}}^{6}}$ をかけます。

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}} {\sqrt[7]{2}}^{6}}{4 \sqrt[7]{2} {\sqrt[7]{2}}^{6}}$

ステップ 5.4.5.2

$\sqrt[7]{2}$ を移動させます。

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}} {\sqrt[7]{2}}^{6}}{4 (\sqrt[7]{2} {\sqrt[7]{2}}^{6})}$

ステップ 5.4.5.3

$\sqrt[7]{2}$ を $1$ 乗します。

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}} {\sqrt[7]{2}}^{6}}{4 ({\sqrt[7]{2}}^{1} {\sqrt[7]{2}}^{6})}$

ステップ 5.4.5.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}} {\sqrt[7]{2}}^{6}}{4 {\sqrt[7]{2}}^{1 + 6}}$

ステップ 5.4.5.5

$1$ と $6$ をたし算します。

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}} {\sqrt[7]{2}}^{6}}{4 {\sqrt[7]{2}}^{7}}$

ステップ 5.4.5.6

${\sqrt[7]{2}}^{7}$ を $2$ に書き換えます。

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ステップ 5.4.5.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[7]{2}$ を $2^{\frac{1}{7}}$ に書き換えます。

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}} {\sqrt[7]{2}}^{6}}{4 {(2^{\frac{1}{7}})}^{7}}$

ステップ 5.4.5.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}} {\sqrt[7]{2}}^{6}}{4 \cdot 2^{\frac{1}{7} \cdot 7}}$

ステップ 5.4.5.6.3

$\frac{1}{7}$ と $7$ をまとめます。

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}} {\sqrt[7]{2}}^{6}}{4 \cdot 2^{\frac{7}{7}}}$

ステップ 5.4.5.6.4

$7$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.5.6.4.1

共通因数を約分します。

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}} {\sqrt[7]{2}}^{6}}{4 \cdot 2^{\frac{7}{7}}}$

ステップ 5.4.5.6.4.2

式を書き換えます。

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}} {\sqrt[7]{2}}^{6}}{4 \cdot 2^{1}}$

ステップ 5.4.5.6.5

指数を求めます。

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}} {\sqrt[7]{2}}^{6}}{4 \cdot 2}$

ステップ 5.4.6

分子を簡約します。

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ステップ 5.4.6.1

${\sqrt[7]{2}}^{6}$ を $\sqrt[7]{2^{6}}$ に書き換えます。

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}} \sqrt[7]{2^{6}}}{4 \cdot 2}$

ステップ 5.4.6.2

$2$ を $6$ 乗します。

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}} \sqrt[7]{64}}{4 \cdot 2}$

ステップ 5.4.6.3

根の積の法則を使ってまとめます。

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{64 e^{6}}}{4 \cdot 2}$

ステップ 5.4.7

$4$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{64 e^{6}}}{8}$

ステップ 6

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{64 e^{6}}}{8}$

10進法形式：

$x = 3.94254900 \dots$

有限数学 例

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