有限数学例

$\frac{x - 2}{3} < \frac{5}{x}$

ステップ 1

不等式の両辺から $\frac{5}{x}$ を引きます。

$\frac{x - 2}{3} - \frac{5}{x} < 0$

ステップ 2

$\frac{x - 2}{3} - \frac{5}{x}$ を簡約します。

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ステップ 2.1

$\frac{x - 2}{3}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x}{x}$ を掛けます。

$\frac{x - 2}{3} \cdot \frac{x}{x} - \frac{5}{x} < 0$

ステップ 2.2

$- \frac{5}{x}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{x - 2}{3} \cdot \frac{x}{x} - \frac{5}{x} \cdot \frac{3}{3} < 0$

ステップ 2.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $3 x$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 2.3.1

$\frac{x - 2}{3}$ に $\frac{x}{x}$ をかけます。

$\frac{(x - 2) x}{3 x} - \frac{5}{x} \cdot \frac{3}{3} < 0$

ステップ 2.3.2

$\frac{5}{x}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$\frac{(x - 2) x}{3 x} - \frac{5 \cdot 3}{x \cdot 3} < 0$

ステップ 2.3.3

$x \cdot 3$ の因数を並べ替えます。

$\frac{(x - 2) x}{3 x} - \frac{5 \cdot 3}{3 x} < 0$

ステップ 2.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{(x - 2) x - 5 \cdot 3}{3 x} < 0$

ステップ 2.5

分子を簡約します。

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ステップ 2.5.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x \cdot x - 2 x - 5 \cdot 3}{3 x} < 0$

ステップ 2.5.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{x^{2} - 2 x - 5 \cdot 3}{3 x} < 0$

ステップ 2.5.3

$- 5$ に $3$ をかけます。

$\frac{x^{2} - 2 x - 15}{3 x} < 0$

ステップ 2.5.4

たすき掛けを利用して $x^{2} - 2 x - 15$ を因数分解します。

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ステップ 2.5.4.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 15$ で、その和が $- 2$ です。

$- 5, 3$

ステップ 2.5.4.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$\frac{(x - 5) (x + 3)}{3 x} < 0$

ステップ 3

各因数を $0$ に等しくして解くことで、式が負から正に切り替わるすべての値を求めます。

$3 x = 0$

$x - 5 = 0$

$x + 3 = 0$

ステップ 4

$3 x = 0$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 4.1

$3 x = 0$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

ステップ 4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

ステップ 4.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{0}{3}$

ステップ 4.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.3.1

$0$ を $3$ で割ります。

$x = 0$

ステップ 5

方程式の両辺に $5$ を足します。

$x = 5$

ステップ 6

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$x = - 3$

ステップ 7

各因数について解き、絶対値式が負から正になる値を求めます。

$x = 0$

$x = 5$

$x = - 3$

ステップ 8

解をまとめます。

$x = 0, 5, - 3$

ステップ 9

$\frac{(x - 5) (x + 3)}{3 x}$ の定義域を求めます。

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ステップ 9.1

$\frac{(x - 5) (x + 3)}{3 x}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$3 x = 0$

ステップ 9.2

$3 x = 0$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 9.2.1

$3 x = 0$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

ステップ 9.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 9.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

ステップ 9.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{0}{3}$

ステップ 9.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 9.2.3.1

$0$ を $3$ で割ります。

$x = 0$

ステップ 9.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

ステップ 10

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 3$

$- 3 < x < 0$

$0 < x < 5$

$x > 5$

ステップ 11

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 11.1

区間 $x < - 3$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 11.1.1

区間 $x < - 3$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 6$

ステップ 11.1.2

$x$ を元の不等式の $- 6$ で置き換えます。

$\frac{(- 6) - 2}{3} < \frac{5}{- 6}$

ステップ 11.1.3

左辺 $- 2.\overline{6}$ は右辺 $- 0.8\overline{3}$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 11.2

区間 $- 3 < x < 0$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 11.2.1

区間 $- 3 < x < 0$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 2$

ステップ 11.2.2

$x$ を元の不等式の $- 2$ で置き換えます。

$\frac{(- 2) - 2}{3} < \frac{5}{- 2}$

ステップ 11.2.3

左辺 $- 1.\overline{3}$ は右辺 $- 2.5$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 11.3

区間 $0 < x < 5$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 11.3.1

区間 $0 < x < 5$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 2$

ステップ 11.3.2

$x$ を元の不等式の $2$ で置き換えます。

$\frac{(2) - 2}{3} < \frac{5}{2}$

ステップ 11.3.3

左辺 $0$ は右辺 $2.5$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 11.4

区間 $x > 5$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 11.4.1

区間 $x > 5$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 8$

ステップ 11.4.2

$x$ を元の不等式の $8$ で置き換えます。

$\frac{(8) - 2}{3} < \frac{5}{8}$

ステップ 11.4.3

左辺 $2$ は右辺 $0.625$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 11.5

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 3$ 真

$- 3 < x < 0$ 偽

$0 < x < 5$ 真

$x > 5$ 偽

$x < - 3$ 真

$- 3 < x < 0$ 偽

$0 < x < 5$ 真

$x > 5$ 偽

ステップ 12

解はすべての真の区間からなります。

$x < - 3$ または $0 < x < 5$

ステップ 13

結果は複数の形で表すことができます。

不等式形：

$x < - 3 or 0 < x < 5$

区間記号：

$(- \infty, - 3) \cup (0, 5)$

ステップ 14

有限数学 例

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