有限数学例

$1 + \frac{2}{x} < 3$

ステップ 1

$x$ を含まないすべての項を不等式の右辺に移動させます。

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ステップ 1.1

不等式の両辺から $1$ を引きます。

$\frac{2}{x} < 3 - 1$

ステップ 1.2

$3$ から $1$ を引きます。

$\frac{2}{x} < 2$

ステップ 2

両辺に $x$ を掛けます。

$\frac{2}{x} x = 2 x$

ステップ 3

左辺を簡約します。

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ステップ 3.1

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2}{x} x = 2 x$

ステップ 3.1.2

式を書き換えます。

$2 = 2 x$

ステップ 4

$x$ について解きます。

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ステップ 4.1

方程式を $2 x = 2$ として書き換えます。

$2 x = 2$

ステップ 4.2

$2 x = 2$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 4.2.1

$2 x = 2$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{2}{2}$

ステップ 4.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{2}{2}$

ステップ 4.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{2}{2}$

ステップ 4.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.2.3.1

$2$ を $2$ で割ります。

$x = 1$

ステップ 5

$\frac{2}{x} - 2$ の定義域を求めます。

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ステップ 5.1

$\frac{2}{x}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x = 0$

ステップ 5.2

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

ステップ 6

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < 0$

$0 < x < 1$

$x > 1$

ステップ 7

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 7.1

区間 $x < 0$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 7.1.1

区間 $x < 0$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 2$

ステップ 7.1.2

$x$ を元の不等式の $- 2$ で置き換えます。

$1 + \frac{2}{- 2} < 3$

ステップ 7.1.3

左辺 $0$ は右辺 $3$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 7.2

区間 $0 < x < 1$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 7.2.1

区間 $0 < x < 1$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0.5$

ステップ 7.2.2

$x$ を元の不等式の $0.5$ で置き換えます。

$1 + \frac{2}{0.5} < 3$

ステップ 7.2.3

左辺 $5$ は右辺 $3$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 7.3

区間 $x > 1$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 7.3.1

区間 $x > 1$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 4$

ステップ 7.3.2

$x$ を元の不等式の $4$ で置き換えます。

$1 + \frac{2}{4} < 3$

ステップ 7.3.3

左辺 $1.5$ は右辺 $3$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 7.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < 0$ 真

$0 < x < 1$ 偽

$x > 1$ 真

$x < 0$ 真

$0 < x < 1$ 偽

$x > 1$ 真

ステップ 8

解はすべての真の区間からなります。

$x < 0$ または $x > 1$

ステップ 9

結果は複数の形で表すことができます。

不等式形：

$x < 0 or x > 1$

区間記号：

$(- \infty, 0) \cup (1, \infty)$

ステップ 10

有限数学 例

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