有限数学例

$\frac{a}{x - b} + \frac{b}{x - a} = 2$

ステップ 1

方程式の項の最小公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$x - b, x - a, 1$

ステップ 1.2

最小公倍数はすべての数を割り切る最小の正の数です。

1. 各数値の素因数を記入してください。

2. 各因数に、いずれかの値で発生する最大回数をかけてください。

ステップ 1.3

数 $1$ は、それ自身である正の因数を1つだけもつので、素数ではありません。

素数ではありません

ステップ 1.4

$1, 1, 1$ の最小公倍数は、すべての素因数がいずれかの数に出現する回数の最大数を掛けた結果です。

$1$

ステップ 1.5

$x - b$ の因数は $x - b$ そのものです。

$(x - b) = x - b$

$(x - b)$ は $1$ 回発生します。

ステップ 1.6

$x - a$ の因数は $x - a$ そのものです。

$(x - a) = x - a$

$(x - a)$ は $1$ 回発生します。

ステップ 1.7

$x - b, x - a$ の最小公倍数は、すべての因数がいずれかの項に出現する回数の最大数を掛けた結果です。

$(x - b) (x - a)$

ステップ 2

$\frac{a}{x - b} + \frac{b}{x - a} = 2$ の各項に $(x - b) (x - a)$ を掛け、分数を消去します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$\frac{a}{x - b} + \frac{b}{x - a} = 2$ の各項に $(x - b) (x - a)$ を掛けます。

$\frac{a}{x - b} ((x - b) (x - a)) + \frac{b}{x - a} ((x - b) (x - a)) = 2 ((x - b) (x - a))$

ステップ 2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

$x - b$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{a}{x - b} ((x - b) (x - a)) + \frac{b}{x - a} ((x - b) (x - a)) = 2 ((x - b) (x - a))$

ステップ 2.2.1.1.2

式を書き換えます。

$a (x - a) + \frac{b}{x - a} ((x - b) (x - a)) = 2 ((x - b) (x - a))$

ステップ 2.2.1.2

分配則を当てはめます。

$a x + a (- a) + \frac{b}{x - a} ((x - b) (x - a)) = 2 ((x - b) (x - a))$

ステップ 2.2.1.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$a x - a \cdot a + \frac{b}{x - a} ((x - b) (x - a)) = 2 ((x - b) (x - a))$

ステップ 2.2.1.4

指数を足して $a$ に $a$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.4.1

$a$ を移動させます。

$a x - (a \cdot a) + \frac{b}{x - a} ((x - b) (x - a)) = 2 ((x - b) (x - a))$

ステップ 2.2.1.4.2

$a$ に $a$ をかけます。

$a x - a^{2} + \frac{b}{x - a} ((x - b) (x - a)) = 2 ((x - b) (x - a))$

ステップ 2.2.1.5

$x - a$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.5.1

$x - a$ を $(x - b) (x - a)$ で因数分解します。

$a x - a^{2} + \frac{b}{x - a} ((x - a) (x - b)) = 2 ((x - b) (x - a))$

ステップ 2.2.1.5.2

共通因数を約分します。

$a x - a^{2} + \frac{b}{x - a} ((x - a) (x - b)) = 2 ((x - b) (x - a))$

ステップ 2.2.1.5.3

式を書き換えます。

$a x - a^{2} + b (x - b) = 2 ((x - b) (x - a))$

ステップ 2.2.1.6

分配則を当てはめます。

$a x - a^{2} + b x + b (- b) = 2 ((x - b) (x - a))$

ステップ 2.2.1.7

積の可換性を利用して書き換えます。

$a x - a^{2} + b x - b \cdot b = 2 ((x - b) (x - a))$

ステップ 2.2.1.8

指数を足して $b$ に $b$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.8.1

$b$ を移動させます。

$a x - a^{2} + b x - (b \cdot b) = 2 ((x - b) (x - a))$

ステップ 2.2.1.8.2

$b$ に $b$ をかけます。

$a x - a^{2} + b x - b^{2} = 2 ((x - b) (x - a))$

ステップ 2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

分配法則（FOIL法）を使って $(x - b) (x - a)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1

分配則を当てはめます。

$a x - a^{2} + b x - b^{2} = 2 (x (x - a) - b (x - a))$

ステップ 2.3.1.2

分配則を当てはめます。

$a x - a^{2} + b x - b^{2} = 2 (x \cdot x + x (- a) - b (x - a))$

ステップ 2.3.1.3

分配則を当てはめます。

$a x - a^{2} + b x - b^{2} = 2 (x \cdot x + x (- a) - b x - b (- a))$

ステップ 2.3.2

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$a x - a^{2} + b x - b^{2} = 2 (x^{2} + x (- a) - b x - b (- a))$

ステップ 2.3.2.1.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$a x - a^{2} + b x - b^{2} = 2 (x^{2} - x a - b x - b (- a))$

ステップ 2.3.2.1.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$a x - a^{2} + b x - b^{2} = 2 (x^{2} - x a - b x - 1 \cdot - 1 b a)$

ステップ 2.3.2.1.4

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$a x - a^{2} + b x - b^{2} = 2 (x^{2} - x a - b x + 1 b a)$

ステップ 2.3.2.1.5

$b$ に $1$ をかけます。

$a x - a^{2} + b x - b^{2} = 2 (x^{2} - x a - b x + b a)$

ステップ 2.3.2.2

分配則を当てはめます。

$a x - a^{2} + b x - b^{2} = 2 x^{2} + 2 (- x a) + 2 (- b x) + 2 (b a)$

ステップ 2.3.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$a x - a^{2} + b x - b^{2} = 2 x^{2} - 2 (x a) + 2 (- b x) + 2 (b a)$

ステップ 2.3.3.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$a x - a^{2} + b x - b^{2} = 2 x^{2} - 2 (x a) - 2 (b x) + 2 b a$

ステップ 2.3.4

括弧を削除します。

$a x - a^{2} + b x - b^{2} = 2 x^{2} - 2 x a - 2 b x + 2 b a$

ステップ 3

方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$a$ を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

方程式の両辺に $2 x a$ を足します。

$a x - a^{2} + b x - b^{2} + 2 x a = 2 x^{2} - 2 b x + 2 b a$

ステップ 3.1.2

方程式の両辺から $2 b a$ を引きます。

$a x - a^{2} + b x - b^{2} + 2 x a - 2 b a = 2 x^{2} - 2 b x$

ステップ 3.1.3

$a x$ と $2 x a$ をたし算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.3.1

$x$ を移動させます。

$- a^{2} + b x - b^{2} + a x + 2 a x - 2 b a = 2 x^{2} - 2 b x$

ステップ 3.1.3.2

$a x$ と $2 a x$ をたし算します。

$- a^{2} + b x - b^{2} + 3 a x - 2 b a = 2 x^{2} - 2 b x$

ステップ 3.2

変数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させ、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

すべての式を方程式の左辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1

方程式の両辺から $2 x^{2}$ を引きます。

$- a^{2} + b x - b^{2} + 3 a x - 2 b a - 2 x^{2} = - 2 b x$

ステップ 3.2.1.2

方程式の両辺に $2 b x$ を足します。

$- a^{2} + b x - b^{2} + 3 a x - 2 b a - 2 x^{2} + 2 b x = 0$

ステップ 3.2.2

$b x$ と $2 b x$ をたし算します。

$- a^{2} - b^{2} + 3 a x - 2 b a - 2 x^{2} + 3 b x = 0$

ステップ 3.3

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 3.4

$a = - 1$ 、 $b = 3 x - 2 b$ 、および $c = - b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $a$ の値を求めます。

$\frac{- (3 x - 2 b) \pm \sqrt{{(3 x - 2 b)}^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x))}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 3.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1.1

分配則を当てはめます。

$a = \frac{- (3 x) - (- 2 b) \pm \sqrt{{(3 x - 2 b)}^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 3.5.1.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$a = \frac{- 3 x - (- 2 b) \pm \sqrt{{(3 x - 2 b)}^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 3.5.1.3

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{{(3 x - 2 b)}^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 3.5.1.4

${(3 x - 2 b)}^{2}$ を $(3 x - 2 b) (3 x - 2 b)$ に書き換えます。

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{(3 x - 2 b) (3 x - 2 b) - 4 \cdot - 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 3.5.1.5

分配法則（FOIL法）を使って $(3 x - 2 b) (3 x - 2 b)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1.5.1

分配則を当てはめます。

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{3 x (3 x - 2 b) - 2 b (3 x - 2 b) - 4 \cdot - 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 3.5.1.5.2

分配則を当てはめます。

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{3 x (3 x) + 3 x (- 2 b) - 2 b (3 x - 2 b) - 4 \cdot - 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 3.5.1.5.3

分配則を当てはめます。

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{3 x (3 x) + 3 x (- 2 b) - 2 b (3 x) - 2 b (- 2 b) - 4 \cdot - 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 3.5.1.6

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1.6.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1.6.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{3 \cdot (3 x \cdot x) + 3 x (- 2 b) - 2 b (3 x) - 2 b (- 2 b) - 4 \cdot - 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 3.5.1.6.1.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1.6.1.2.1

$x$ を移動させます。

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{3 \cdot (3 (x \cdot x)) + 3 x (- 2 b) - 2 b (3 x) - 2 b (- 2 b) - 4 \cdot - 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 3.5.1.6.1.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{3 \cdot (3 x^{2}) + 3 x (- 2 b) - 2 b (3 x) - 2 b (- 2 b) - 4 \cdot - 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 3.5.1.6.1.3

$3$ に $3$ をかけます。

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{9 x^{2} + 3 x (- 2 b) - 2 b (3 x) - 2 b (- 2 b) - 4 \cdot - 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 3.5.1.6.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{9 x^{2} + 3 \cdot (- 2 x b) - 2 b (3 x) - 2 b (- 2 b) - 4 \cdot - 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 3.5.1.6.1.5

$3$ に $- 2$ をかけます。

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{9 x^{2} - 6 x b - 2 b (3 x) - 2 b (- 2 b) - 4 \cdot - 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 3.5.1.6.1.6

積の可換性を利用して書き換えます。

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{9 x^{2} - 6 x b - 2 \cdot (3 b x) - 2 b (- 2 b) - 4 \cdot - 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 3.5.1.6.1.7

$- 2$ に $3$ をかけます。

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{9 x^{2} - 6 x b - 6 b x - 2 b (- 2 b) - 4 \cdot - 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 3.5.1.6.1.8

積の可換性を利用して書き換えます。

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{9 x^{2} - 6 x b - 6 b x - 2 \cdot (- 2 b \cdot b) - 4 \cdot - 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 3.5.1.6.1.9

指数を足して $b$ に $b$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1.6.1.9.1

$b$ を移動させます。

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{9 x^{2} - 6 x b - 6 b x - 2 \cdot (- 2 (b \cdot b)) - 4 \cdot - 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 3.5.1.6.1.9.2

$b$ に $b$ をかけます。

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{9 x^{2} - 6 x b - 6 b x - 2 \cdot (- 2 b^{2}) - 4 \cdot - 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 3.5.1.6.1.10

$- 2$ に $- 2$ をかけます。

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{9 x^{2} - 6 x b - 6 b x + 4 b^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 3.5.1.6.2

$- 6 x b$ から $6 b x$ を引きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1.6.2.1

$x$ を移動させます。

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{9 x^{2} - 6 b x - 6 b x + 4 b^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 3.5.1.6.2.2

$- 6 b x$ から $6 b x$ を引きます。

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{9 x^{2} - 12 b x + 4 b^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 3.5.1.7

$- 4$ に $- 1$ をかけます。

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{9 x^{2} - 12 b x + 4 b^{2} + 4 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 3.5.1.8

分配則を当てはめます。

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{9 x^{2} - 12 b x + 4 b^{2} + 4 (- b^{2}) + 4 (- 2 x^{2}) + 4 (3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 3.5.1.9

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1.9.1

$- 1$ に $4$ をかけます。

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{9 x^{2} - 12 b x + 4 b^{2} - 4 b^{2} + 4 (- 2 x^{2}) + 4 (3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 3.5.1.9.2

$- 2$ に $4$ をかけます。

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{9 x^{2} - 12 b x + 4 b^{2} - 4 b^{2} - 8 x^{2} + 4 (3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 3.5.1.9.3

$3$ に $4$ をかけます。

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{9 x^{2} - 12 b x + 4 b^{2} - 4 b^{2} - 8 x^{2} + 12 (b x)}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 3.5.1.10

$9 x^{2}$ から $8 x^{2}$ を引きます。

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{- 12 b x + 4 b^{2} - 4 b^{2} + x^{2} + 12 b x}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 3.5.1.11

$- 12 b x$ と $12 b x$ をたし算します。

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{4 b^{2} - 4 b^{2} + x^{2} + 0}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 3.5.1.12

$4 b^{2} - 4 b^{2} + x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{4 b^{2} - 4 b^{2} + x^{2}}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 3.5.1.13

$4 b^{2}$ から $4 b^{2}$ を引きます。

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{0 + x^{2}}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 3.5.1.14

$0$ と $x^{2}$ をたし算します。

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{x^{2}}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 3.5.1.15

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm x}{2 \cdot - 1}$

ステップ 3.5.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm x}{- 2}$

ステップ 3.5.3

$\frac{- 3 x + 2 b \pm x}{- 2}$ を簡約します。

$a = \frac{3 x - 2 b \pm x}{2}$

ステップ 3.6

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$a = - b + 2 x$

$a = - b + x$

$a = - b + 2 x$

$a = - b + x$

有限数学 例

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