有限数学例

$\frac{5 t}{t^{2} + 1} + 98.6 > 100$

ステップ 1

不等式の両辺から $100$ を引きます。

$\frac{5 t}{t^{2} + 1} + 98.6 - 100 > 0$

ステップ 2

$\frac{5 t}{t^{2} + 1} + 98.6 - 100$ を簡約します。

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ステップ 2.1

公分母を求めます。

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ステップ 2.1.1

$98.6$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$\frac{5 t}{t^{2} + 1} + \frac{98.6}{1} - 100 > 0$

ステップ 2.1.2

$\frac{98.6}{1}$ に $\frac{t^{2} + 1}{t^{2} + 1}$ をかけます。

$\frac{5 t}{t^{2} + 1} + \frac{98.6}{1} \cdot \frac{t^{2} + 1}{t^{2} + 1} - 100 > 0$

ステップ 2.1.3

$\frac{98.6}{1}$ に $\frac{t^{2} + 1}{t^{2} + 1}$ をかけます。

$\frac{5 t}{t^{2} + 1} + \frac{98.6 (t^{2} + 1)}{t^{2} + 1} - 100 > 0$

ステップ 2.1.4

$- 100$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$\frac{5 t}{t^{2} + 1} + \frac{98.6 (t^{2} + 1)}{t^{2} + 1} + \frac{- 100}{1} > 0$

ステップ 2.1.5

$\frac{- 100}{1}$ に $\frac{t^{2} + 1}{t^{2} + 1}$ をかけます。

$\frac{5 t}{t^{2} + 1} + \frac{98.6 (t^{2} + 1)}{t^{2} + 1} + \frac{- 100}{1} \cdot \frac{t^{2} + 1}{t^{2} + 1} > 0$

ステップ 2.1.6

$\frac{- 100}{1}$ に $\frac{t^{2} + 1}{t^{2} + 1}$ をかけます。

$\frac{5 t}{t^{2} + 1} + \frac{98.6 (t^{2} + 1)}{t^{2} + 1} + \frac{- 100 (t^{2} + 1)}{t^{2} + 1} > 0$

ステップ 2.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{5 t + 98.6 (t^{2} + 1) - 100 (t^{2} + 1)}{t^{2} + 1} > 0$

ステップ 2.3

各項を簡約します。

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ステップ 2.3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{5 t + 98.6 t^{2} + 98.6 \cdot 1 - 100 (t^{2} + 1)}{t^{2} + 1} > 0$

ステップ 2.3.2

$98.6$ に $1$ をかけます。

$\frac{5 t + 98.6 t^{2} + 98.6 - 100 (t^{2} + 1)}{t^{2} + 1} > 0$

ステップ 2.3.3

分配則を当てはめます。

$\frac{5 t + 98.6 t^{2} + 98.6 - 100 t^{2} - 100 \cdot 1}{t^{2} + 1} > 0$

ステップ 2.3.4

$- 100$ に $1$ をかけます。

$\frac{5 t + 98.6 t^{2} + 98.6 - 100 t^{2} - 100}{t^{2} + 1} > 0$

ステップ 2.4

$98.6 t^{2}$ から $100 t^{2}$ を引きます。

$\frac{5 t - 1.4 t^{2} + 98.6 - 100}{t^{2} + 1} > 0$

ステップ 2.5

$98.6$ から $100$ を引きます。

$\frac{5 t - 1.4 t^{2} - 1.4}{t^{2} + 1} > 0$

ステップ 2.6

分子を簡約します。

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ステップ 2.6.1

$0.2$ を $5 t - 1.4 t^{2} - 1.4$ で因数分解します。

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ステップ 2.6.1.1

$0.2$ を $5 t$ で因数分解します。

$\frac{0.2 (25 t) - 1.4 t^{2} - 1.4}{t^{2} + 1} > 0$

ステップ 2.6.1.2

$0.2$ を $- 1.4 t^{2}$ で因数分解します。

$\frac{0.2 (25 t) + 0.2 (- 7 t^{2}) - 1.4}{t^{2} + 1} > 0$

ステップ 2.6.1.3

$0.2$ を $- 1.4$ で因数分解します。

$\frac{0.2 (25 t) + 0.2 (- 7 t^{2}) + 0.2 (- 7)}{t^{2} + 1} > 0$

ステップ 2.6.1.4

$0.2$ を $0.2 (25 t) + 0.2 (- 7 t^{2})$ で因数分解します。

$\frac{0.2 (25 t - 7 t^{2}) + 0.2 (- 7)}{t^{2} + 1} > 0$

ステップ 2.6.1.5

$0.2$ を $0.2 (25 t - 7 t^{2}) + 0.2 (- 7)$ で因数分解します。

$\frac{0.2 (25 t - 7 t^{2} - 7)}{t^{2} + 1} > 0$

ステップ 2.6.2

項を並べ替えます。

$\frac{0.2 (- 7 t^{2} + 25 t - 7)}{t^{2} + 1} > 0$

ステップ 2.7

$- 1$ を $- 7 t^{2}$ で因数分解します。

$\frac{0.2 (- (7 t^{2}) + 25 t - 7)}{t^{2} + 1} > 0$

ステップ 2.8

$- 1$ を $25 t$ で因数分解します。

$\frac{0.2 (- (7 t^{2}) - (- 25 t) - 7)}{t^{2} + 1} > 0$

ステップ 2.9

$- 1$ を $- (7 t^{2}) - (- 25 t)$ で因数分解します。

$\frac{0.2 (- (7 t^{2} - 25 t) - 7)}{t^{2} + 1} > 0$

ステップ 2.10

$- 7$ を $- 1 (7)$ に書き換えます。

$\frac{0.2 (- (7 t^{2} - 25 t) - 1 (7))}{t^{2} + 1} > 0$

ステップ 2.11

$- 1$ を $- (7 t^{2} - 25 t) - 1 (7)$ で因数分解します。

$\frac{0.2 (- (7 t^{2} - 25 t + 7))}{t^{2} + 1} > 0$

ステップ 2.12

$- (7 t^{2} - 25 t + 7)$ を $- 1 (7 t^{2} - 25 t + 7)$ に書き換えます。

$\frac{0.2 (- 1 (7 t^{2} - 25 t + 7))}{t^{2} + 1} > 0$

ステップ 2.13

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{0.2 (7 t^{2} - 25 t + 7)}{t^{2} + 1} > 0$

ステップ 3

各因数を $0$ に等しくして解くことで、式が負から正に切り替わるすべての値を求めます。

$7 t^{2} - 25 t + 7 = 0$

$t^{2} + 1 = 0$

ステップ 4

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 5

$a = 7$ 、 $b = - 25$ 、および $c = 7$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $t$ の値を求めます。

$\frac{25 \pm \sqrt{{(- 25)}^{2} - 4 \cdot (7 \cdot 7)}}{2 \cdot 7}$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

分子を簡約します。

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ステップ 6.1.1

$- 25$ を $2$ 乗します。

$t = \frac{25 \pm \sqrt{625 - 4 \cdot 7 \cdot 7}}{2 \cdot 7}$

ステップ 6.1.2

$- 4 \cdot 7 \cdot 7$ を掛けます。

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ステップ 6.1.2.1

$- 4$ に $7$ をかけます。

$t = \frac{25 \pm \sqrt{625 - 28 \cdot 7}}{2 \cdot 7}$

ステップ 6.1.2.2

$- 28$ に $7$ をかけます。

$t = \frac{25 \pm \sqrt{625 - 196}}{2 \cdot 7}$

ステップ 6.1.3

$625$ から $196$ を引きます。

$t = \frac{25 \pm \sqrt{429}}{2 \cdot 7}$

ステップ 6.2

$2$ に $7$ をかけます。

$t = \frac{25 \pm \sqrt{429}}{14}$

ステップ 7

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$t = \frac{25 + \sqrt{429}}{14}, \frac{25 - \sqrt{429}}{14}$

ステップ 8

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$t^{2} = - 1$

ステップ 9

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$t = \pm \sqrt{- 1}$

ステップ 10

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$t = \pm i$

ステップ 11

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 11.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$t = i$

ステップ 11.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$t = - i$

ステップ 11.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$t = i, - i$

ステップ 12

各因数について解き、絶対値式が負から正になる値を求めます。

$t = \frac{25 + \sqrt{429}}{14}, \frac{25 - \sqrt{429}}{14}$

$t = i, - i$

ステップ 13

解をまとめます。

$t = \frac{25 + \sqrt{429}}{14}, \frac{25 - \sqrt{429}}{14}$

ステップ 14

各根を利用して検定区間を作成します。

$t < \frac{25 - \sqrt{429}}{14}$

$\frac{25 - \sqrt{429}}{14} < t < \frac{25 + \sqrt{429}}{14}$

$t > \frac{25 + \sqrt{429}}{14}$

ステップ 15

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 15.1

区間 $t < \frac{25 - \sqrt{429}}{14}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 15.1.1

区間 $t < \frac{25 - \sqrt{429}}{14}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$t = 0$

ステップ 15.1.2

$t$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$\frac{5 (0)}{{(0)}^{2} + 1} + 98.6 > 100$

ステップ 15.1.3

左辺 $98.6$ は右辺 $100$ より大きくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 15.2

区間 $\frac{25 - \sqrt{429}}{14} < t < \frac{25 + \sqrt{429}}{14}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 15.2.1

区間 $\frac{25 - \sqrt{429}}{14} < t < \frac{25 + \sqrt{429}}{14}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$t = 2$

ステップ 15.2.2

$t$ を元の不等式の $2$ で置き換えます。

$\frac{5 (2)}{{(2)}^{2} + 1} + 98.6 > 100$

ステップ 15.2.3

左辺 $100.6$ は右辺 $100$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 15.3

区間 $t > \frac{25 + \sqrt{429}}{14}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 15.3.1

区間 $t > \frac{25 + \sqrt{429}}{14}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$t = 6$

ステップ 15.3.2

$t$ を元の不等式の $6$ で置き換えます。

$\frac{5 (6)}{{(6)}^{2} + 1} + 98.6 > 100$

ステップ 15.3.3

左辺 $99.4\overline{108}$ は右辺 $100$ より大きくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 15.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$t < \frac{25 - \sqrt{429}}{14}$ 偽

$\frac{25 - \sqrt{429}}{14} < t < \frac{25 + \sqrt{429}}{14}$ 真

$t > \frac{25 + \sqrt{429}}{14}$ 偽

$t < \frac{25 - \sqrt{429}}{14}$ 偽

$\frac{25 - \sqrt{429}}{14} < t < \frac{25 + \sqrt{429}}{14}$ 真

$t > \frac{25 + \sqrt{429}}{14}$ 偽

ステップ 16

解はすべての真の区間からなります。

$\frac{25 - \sqrt{429}}{14} < t < \frac{25 + \sqrt{429}}{14}$

ステップ 17

結果は複数の形で表すことができます。

不等式形：

$\frac{25 - \sqrt{429}}{14} < t < \frac{25 + \sqrt{429}}{14}$

区間記号：

$(\frac{25 - \sqrt{429}}{14}, \frac{25 + \sqrt{429}}{14})$

ステップ 18

有限数学 例

有限数学例