有限数学例

$- \frac{x^{4} - x^{2} - 5}{x^{2} + 6} < 0$

ステップ 1

各因数を $0$ に等しくして解くことで、式が負から正に切り替わるすべての値を求めます。

$x^{4} - x^{2} - 5 = 0$

$x^{2} + 6 = 0$

ステップ 2

$u = x^{2}$ を方程式に代入します。これにより二次方程式の解の公式を利用しやすくします。

$u^{2} - u - 5 = 0$

$u = x^{2}$

ステップ 3

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 4

$a = 1$ 、 $b = - 1$ 、および $c = - 5$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $u$ の値を求めます。

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 5)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

分子を簡約します。

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ステップ 5.1.1

$- 1$ を $2$ 乗します。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 5$ を掛けます。

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ステップ 5.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.2.2

$- 4$ に $- 5$ をかけます。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 20}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.3

$1$ と $20$ をたし算します。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{21}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.2

$2$ に $1$ をかけます。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{21}}{2}$

ステップ 6

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$u = \frac{1 + \sqrt{21}}{2}, \frac{1 - \sqrt{21}}{2}$

ステップ 7

$u = x^{2}$ の実数を解いた方程式に代入して戻します。

$x^{2} = 2.79128784$

${(x^{2})}^{1} = - 1.79128784$

ステップ 8

$x$ について第1方程式を解きます。

$x^{2} = 2.79128784$

ステップ 9

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 9.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{2.79128784}$

ステップ 9.2

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 9.2.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \sqrt{2.79128784}$

ステップ 9.2.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \sqrt{2.79128784}$

ステップ 9.2.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \sqrt{2.79128784}, - \sqrt{2.79128784}$

ステップ 10

$x$ について二次方程式を解きます。

${(x^{2})}^{1} = - 1.79128784$

ステップ 11

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 11.1

括弧を削除します。

$x^{2} = - 1.79128784$

ステップ 11.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1.79128784}$

ステップ 11.3

$\pm \sqrt{- 1.79128784}$ を簡約します。

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ステップ 11.3.1

$- 1.79128784$ を $- 1 (1.79128784)$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{- 1 (1.79128784)}$

ステップ 11.3.2

$\sqrt{- 1 (1.79128784)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1.79128784}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1.79128784}$

ステップ 11.3.3

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \pm i \sqrt{1.79128784}$

ステップ 11.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 11.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = i \sqrt{1.79128784}$

ステップ 11.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - i \sqrt{1.79128784}$

ステップ 11.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = i \sqrt{1.79128784}, - i \sqrt{1.79128784}$

ステップ 12

$x^{4} - x^{2} - 5 = 0$ の解は $x = \sqrt{2.79128784}, - \sqrt{2.79128784}, i \sqrt{1.79128784}, - i \sqrt{1.79128784}$ です。

$x = \sqrt{2.79128784}, - \sqrt{2.79128784}, i \sqrt{1.79128784}, - i \sqrt{1.79128784}$

ステップ 13

方程式の両辺から $6$ を引きます。

$x^{2} = - 6$

ステップ 14

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 6}$

ステップ 15

$\pm \sqrt{- 6}$ を簡約します。

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ステップ 15.1

$- 6$ を $- 1 (6)$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{- 1 (6)}$

ステップ 15.2

$\sqrt{- 1 (6)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{6}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{6}$

ステップ 15.3

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \pm i \sqrt{6}$

ステップ 16

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 16.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = i \sqrt{6}$

ステップ 16.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - i \sqrt{6}$

ステップ 16.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = i \sqrt{6}, - i \sqrt{6}$

ステップ 17

各因数について解き、絶対値式が負から正になる値を求めます。

$x = \sqrt{2.79128784}, - \sqrt{2.79128784}$

$x = i \sqrt{6}, - i \sqrt{6}$

ステップ 18

解をまとめます。

$x = \sqrt{2.79128784}, - \sqrt{2.79128784}$

ステップ 19

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - \sqrt{2.79128784}$

$- \sqrt{2.79128784} < x < \sqrt{2.79128784}$

$x > \sqrt{2.79128784}$

ステップ 20

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 20.1

区間 $x < - \sqrt{2.79128784}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 20.1.1

区間 $x < - \sqrt{2.79128784}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 4$

ステップ 20.1.2

$x$ を元の不等式の $- 4$ で置き換えます。

$- \frac{{(- 4)}^{4} - {(- 4)}^{2} - 5}{{(- 4)}^{2} + 6} < 0$

ステップ 20.1.3

左辺 $- 10.6\overline{81}$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 20.2

区間 $- \sqrt{2.79128784} < x < \sqrt{2.79128784}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 20.2.1

区間 $- \sqrt{2.79128784} < x < \sqrt{2.79128784}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 20.2.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$- \frac{{(0)}^{4} - {(0)}^{2} - 5}{{(0)}^{2} + 6} < 0$

ステップ 20.2.3

左辺 $0.8\overline{3}$ は右辺 $0$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 20.3

区間 $x > \sqrt{2.79128784}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 20.3.1

区間 $x > \sqrt{2.79128784}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 4$

ステップ 20.3.2

$x$ を元の不等式の $4$ で置き換えます。

$- \frac{{(4)}^{4} - {(4)}^{2} - 5}{{(4)}^{2} + 6} < 0$

ステップ 20.3.3

左辺 $- 10.6\overline{81}$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 20.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - \sqrt{2.79128784}$ 真

$- \sqrt{2.79128784} < x < \sqrt{2.79128784}$ 偽

$x > \sqrt{2.79128784}$ 真

$x < - \sqrt{2.79128784}$ 真

$- \sqrt{2.79128784} < x < \sqrt{2.79128784}$ 偽

$x > \sqrt{2.79128784}$ 真

ステップ 21

解はすべての真の区間からなります。

$x < - \sqrt{2.79128784}$ または $x > \sqrt{2.79128784}$

ステップ 22

結果は複数の形で表すことができます。

不等式形：

$x < - \sqrt{2.79128784} or x > \sqrt{2.79128784}$

区間記号：

$(- \infty, - \sqrt{2.79128784}) \cup (\sqrt{2.79128784}, \infty)$

ステップ 23

有限数学 例

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