有限数学例

$\frac{\sin (x)}{\sin (x) + 1} > 1$

ステップ 1

不等式の両辺から $1$ を引きます。

$\frac{\sin (x)}{\sin (x) + 1} - 1 > 0$

ステップ 2

$\frac{\sin (x)}{\sin (x) + 1} - 1$ を簡約します。

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ステップ 2.1

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{\sin (x) + 1}{\sin (x) + 1}$ を掛けます。

$\frac{\sin (x)}{\sin (x) + 1} - 1 \cdot \frac{\sin (x) + 1}{\sin (x) + 1} > 0$

ステップ 2.2

$- 1$ と $\frac{\sin (x) + 1}{\sin (x) + 1}$ をまとめます。

$\frac{\sin (x)}{\sin (x) + 1} + \frac{- (\sin (x) + 1)}{\sin (x) + 1} > 0$

ステップ 2.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\sin (x) - (\sin (x) + 1)}{\sin (x) + 1} > 0$

ステップ 2.4

分子を簡約します。

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ステップ 2.4.1

分配則を当てはめます。

$\frac{\sin (x) - \sin (x) - 1 \cdot 1}{\sin (x) + 1} > 0$

ステップ 2.4.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{\sin (x) - \sin (x) - 1}{\sin (x) + 1} > 0$

ステップ 2.4.3

$\sin (x)$ から $\sin (x)$ を引きます。

$\frac{0 - 1}{\sin (x) + 1} > 0$

ステップ 2.4.4

$0$ から $1$ を引きます。

$\frac{- 1}{\sin (x) + 1} > 0$

ステップ 2.5

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{\sin (x) + 1} > 0$

ステップ 3

各因数を $0$ に等しくして解くことで、式が負から正に切り替わるすべての値を求めます。

$\sin (x) + 1 = 0$

ステップ 4

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$\sin (x) = - 1$

ステップ 5

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arcsin (- 1)$

ステップ 6

右辺を簡約します。

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ステップ 6.1

$\arcsin (- 1)$ の厳密値は $- \frac{π}{2}$ です。

$x = - \frac{π}{2}$

ステップ 7

正弦関数は、第三象限と第四象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から解を引き、参照角を求めます。次に、この参照角を $π$ に足し、第三象限で解を求めます。

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

ステップ 8

式を簡約し、2番目の解を求めます。

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ステップ 8.1

$2 π + \frac{π}{2} + π$ から $2 π$ を引きます。

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

ステップ 8.2

$\frac{3 π}{2}$ の結果の角度は正で、 $2 π$ より小さく、 $2 π + \frac{π}{2} + π$ と隣接します。

$x = \frac{3 π}{2}$

ステップ 9

$\sin (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 9.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 9.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 9.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 9.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 10

$2 π$ を各負の角に足し、正の角を得ます。

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ステップ 10.1

$2 π$ を $- \frac{π}{2}$ に足し、正の角を求めます。

$- \frac{π}{2} + 2 π$

ステップ 10.2

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 10.3

分数をまとめます。

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ステップ 10.3.1

$2 π$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 10.3.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

ステップ 10.4

分子を簡約します。

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ステップ 10.4.1

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{4 π - π}{2}$

ステップ 10.4.2

$4 π$ から $π$ を引きます。

$\frac{3 π}{2}$

ステップ 10.5

新しい角をリストします。

$x = \frac{3 π}{2}$

ステップ 11

$\sin (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 12

答えをまとめます。

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 13

$\frac{\sin (x)}{\sin (x) + 1} - 1$ の定義域を求めます。

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ステップ 13.1

$\frac{\sin (x)}{\sin (x) + 1}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$\sin (x) + 1 = 0$

ステップ 13.2

$x$ について解きます。

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ステップ 13.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$\sin (x) = - 1$

ステップ 13.2.2

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arcsin (- 1)$

ステップ 13.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 13.2.3.1

$\arcsin (- 1)$ の厳密値は $- \frac{π}{2}$ です。

$x = - \frac{π}{2}$

ステップ 13.2.4

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

ステップ 13.2.5

式を簡約し、2番目の解を求めます。

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ステップ 13.2.5.1

$2 π + \frac{π}{2} + π$ から $2 π$ を引きます。

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

ステップ 13.2.5.2

$\frac{3 π}{2}$ の結果の角度は正で、 $2 π$ より小さく、 $2 π + \frac{π}{2} + π$ と隣接します。

$x = \frac{3 π}{2}$

ステップ 13.2.6

$\sin (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 13.2.6.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 13.2.6.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 13.2.6.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 13.2.6.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 13.2.7

$2 π$ を各負の角に足し、正の角を得ます。

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ステップ 13.2.7.1

$2 π$ を $- \frac{π}{2}$ に足し、正の角を求めます。

$- \frac{π}{2} + 2 π$

ステップ 13.2.7.2

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 13.2.7.3

分数をまとめます。

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ステップ 13.2.7.3.1

$2 π$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 13.2.7.3.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

ステップ 13.2.7.4

分子を簡約します。

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ステップ 13.2.7.4.1

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{4 π - π}{2}$

ステップ 13.2.7.4.2

$4 π$ から $π$ を引きます。

$\frac{3 π}{2}$

ステップ 13.2.7.5

新しい角をリストします。

$x = \frac{3 π}{2}$

ステップ 13.2.8

$\sin (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 13.2.9

答えをまとめます。

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 13.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

${x | x \neq \frac{3 π}{2} + 2 π n}$ $n$ 、 $n$ の任意の整数

ステップ 14

各根を利用して検定区間を作成します。

$\frac{3 π}{2} < x < \frac{7 π}{2}$

ステップ 15

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 15.1

区間 $\frac{3 π}{2} < x < \frac{7 π}{2}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 15.1.1

区間 $\frac{3 π}{2} < x < \frac{7 π}{2}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 8$

ステップ 15.1.2

$x$ を元の不等式の $8$ で置き換えます。

$\frac{\sin (8)}{\sin (8) + 1} > 1$

ステップ 15.1.3

左辺 $0.49732533$ は右辺 $1$ より大きくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 15.2

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$\frac{3 π}{2} < x < \frac{7 π}{2}$ 偽

ステップ 16

この区間になる数がないので、この不等式に解はありません。

解がありません

有限数学 例

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