有限数学例

$\log_{9} (7) + \log_{9} (3 x^{2} \cdot 9) = 2$

ステップ 1

左辺を簡約します。

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ステップ 1.1

対数の積の性質を使います、 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ です。

$\log_{9} (7 (3 x^{2} \cdot 9)) = 2$

ステップ 1.2

$9$ に $3$ をかけます。

$\log_{9} (7 (27 x^{2})) = 2$

ステップ 1.3

$27$ に $7$ をかけます。

$\log_{9} (189 x^{2}) = 2$

ステップ 2

対数の定義を利用して $\log_{9} (189 x^{2}) = 2$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$9^{2} = 189 x^{2}$

ステップ 3

$x$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式を $189 x^{2} = 9^{2}$ として書き換えます。

$189 x^{2} = 9^{2}$

ステップ 3.2

$189 x^{2} = 9^{2}$ の各項を $189$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.2.1

$189 x^{2} = 9^{2}$ の各項を $189$ で割ります。

$\frac{189 x^{2}}{189} = \frac{9^{2}}{189}$

ステップ 3.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$189$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{189 x^{2}}{189} = \frac{9^{2}}{189}$

ステップ 3.2.2.1.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{9^{2}}{189}$

ステップ 3.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.3.1

$9$ を $2$ 乗します。

$x^{2} = \frac{81}{189}$

ステップ 3.2.3.2

$81$ と $189$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.3.2.1

$27$ を $81$ で因数分解します。

$x^{2} = \frac{27 (3)}{189}$

ステップ 3.2.3.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.3.2.2.1

$27$ を $189$ で因数分解します。

$x^{2} = \frac{27 \cdot 3}{27 \cdot 7}$

ステップ 3.2.3.2.2.2

共通因数を約分します。

$x^{2} = \frac{27 \cdot 3}{27 \cdot 7}$

ステップ 3.2.3.2.2.3

式を書き換えます。

$x^{2} = \frac{3}{7}$

ステップ 3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{3}{7}}$

ステップ 3.4

$\pm \sqrt{\frac{3}{7}}$ を簡約します。

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ステップ 3.4.1

$\sqrt{\frac{3}{7}}$ を $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$ に書き換えます。

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$

ステップ 3.4.2

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$ に $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ をかけます。

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$

ステップ 3.4.3

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 3.4.3.1

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$ に $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ をかけます。

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}}$

ステップ 3.4.3.2

$\sqrt{7}$ を $1$ 乗します。

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} \sqrt{7}}$

ステップ 3.4.3.3

$\sqrt{7}$ を $1$ 乗します。

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} {\sqrt{7}}^{1}}$

ステップ 3.4.3.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1 + 1}}$

ステップ 3.4.3.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{2}}$

ステップ 3.4.3.6

${\sqrt{7}}^{2}$ を $7$ に書き換えます。

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ステップ 3.4.3.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{7}$ を $7^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{7}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 3.4.3.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{7}}{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 3.4.3.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 3.4.3.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.3.6.4.1

共通因数を約分します。

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 3.4.3.6.4.2

式を書き換えます。

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{7}}{7^{1}}$

ステップ 3.4.3.6.5

指数を求めます。

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{7}}{7}$

ステップ 3.4.4

分子を簡約します。

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ステップ 3.4.4.1

根の積の法則を使ってまとめます。

$x = \pm \frac{\sqrt{3 \cdot 7}}{7}$

ステップ 3.4.4.2

$3$ に $7$ をかけます。

$x = \pm \frac{\sqrt{21}}{7}$

ステップ 3.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 3.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \frac{\sqrt{21}}{7}$

ステップ 3.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \frac{\sqrt{21}}{7}$

ステップ 3.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \frac{\sqrt{21}}{7}, - \frac{\sqrt{21}}{7}$

ステップ 4

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$x = \frac{\sqrt{21}}{7}, - \frac{\sqrt{21}}{7}$

10進法形式：

$x = 0.65465367 \dots, - 0.65465367 \dots$

有限数学 例

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