有限数学例

$\log_{16} (x^{2} + 3 x) = \frac{1}{2}$

ステップ 1

対数の定義を利用して $\log_{16} (x^{2} + 3 x) = \frac{1}{2}$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$16^{\frac{1}{2}} = x^{2} + 3 x$

ステップ 2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.1

方程式を $x^{2} + 3 x = 16^{\frac{1}{2}}$ として書き換えます。

$x^{2} + 3 x = 16^{\frac{1}{2}}$

ステップ 2.2

$16^{\frac{1}{2}}$ を簡約します。

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ステップ 2.2.1

式を簡約します。

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ステップ 2.2.1.1

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$x^{2} + 3 x = {(4^{2})}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 2.2.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x^{2} + 3 x = 4^{2 (\frac{1}{2})}$

ステップ 2.2.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.2.1

共通因数を約分します。

$x^{2} + 3 x = 4^{2 (\frac{1}{2})}$

ステップ 2.2.2.2

式を書き換えます。

$x^{2} + 3 x = 4^{1}$

ステップ 2.2.3

指数を求めます。

$x^{2} + 3 x = 4$

ステップ 2.3

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$x^{2} + 3 x - 4 = 0$

ステップ 2.4

たすき掛けを利用して $x^{2} + 3 x - 4$ を因数分解します。

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ステップ 2.4.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 4$ で、その和が $3$ です。

$- 1, 4$

ステップ 2.4.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(x - 1) (x + 4) = 0$

ステップ 2.5

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 1 = 0$

$x + 4 = 0$

ステップ 2.6

$x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.6.1

$x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x - 1 = 0$

ステップ 2.6.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 2.7

$x + 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.7.1

$x + 4$ が $0$ に等しいとします。

$x + 4 = 0$

ステップ 2.7.2

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$x = - 4$

ステップ 2.8

最終解は $(x - 1) (x + 4) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 1, - 4$

有限数学 例

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