有限数学例

$\log (x^{2} - 1) - \log (x - 1) = 1$

ステップ 1

左辺を簡約します。

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ステップ 1.1

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\log (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) = 1$

ステップ 1.2

分子を簡約します。

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ステップ 1.2.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\log (\frac{x^{2} - 1^{2}}{x - 1}) = 1$

ステップ 1.2.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 1$ です。

$\log (\frac{(x + 1) (x - 1)}{x - 1}) = 1$

ステップ 1.3

$x - 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.1

共通因数を約分します。

$\log (\frac{(x + 1) (x - 1)}{x - 1}) = 1$

ステップ 1.3.2

$x + 1$ を $1$ で割ります。

$\log (x + 1) = 1$

ステップ 2

対数の定義を利用して $\log (x + 1) = 1$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$10^{1} = x + 1$

ステップ 3

$x$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式を $x + 1 = 10^{1}$ として書き換えます。

$x + 1 = 10$

ステップ 3.2

$x$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 3.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = 10 - 1$

ステップ 3.2.2

$10$ から $1$ を引きます。

$x = 9$

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