有限数学例

$4 x^{2} + 4 x - 1 > 0$

ステップ 1

不等式を方程式に変換します。

$4 x^{2} + 4 x - 1 = 0$

ステップ 2

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 3

$a = 4$ 、 $b = 4$ 、および $c = - 1$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (4 \cdot - 1)}}{2 \cdot 4}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分子を簡約します。

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ステップ 4.1.1

$4$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

ステップ 4.1.2

$- 4 \cdot 4 \cdot - 1$ を掛けます。

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ステップ 4.1.2.1

$- 4$ に $4$ をかけます。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 16 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

ステップ 4.1.2.2

$- 16$ に $- 1$ をかけます。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 16}}{2 \cdot 4}$

ステップ 4.1.3

$16$ と $16$ をたし算します。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 4}$

ステップ 4.1.4

$32$ を $4^{2} \cdot 2$ に書き換えます。

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ステップ 4.1.4.1

$16$ を $32$ で因数分解します。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 4}$

ステップ 4.1.4.2

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 4}$

ステップ 4.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{- 4 \pm 4 \sqrt{2}}{2 \cdot 4}$

ステップ 4.2

$2$ に $4$ をかけます。

$x = \frac{- 4 \pm 4 \sqrt{2}}{8}$

ステップ 4.3

$\frac{- 4 \pm 4 \sqrt{2}}{8}$ を簡約します。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{2}}{2}$

ステップ 5

解をまとめます。

$x = - \frac{1 - \sqrt{2}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{2}}{2}$

ステップ 6

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - \frac{1 + \sqrt{2}}{2}$

$- \frac{1 + \sqrt{2}}{2} < x < - \frac{1 - \sqrt{2}}{2}$

$x > - \frac{1 - \sqrt{2}}{2}$

ステップ 7

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 7.1

区間 $x < - \frac{1 + \sqrt{2}}{2}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 7.1.1

区間 $x < - \frac{1 + \sqrt{2}}{2}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 4$

ステップ 7.1.2

$x$ を元の不等式の $- 4$ で置き換えます。

$4 {(- 4)}^{2} + 4 (- 4) - 1 > 0$

ステップ 7.1.3

左辺 $47$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 7.2

区間 $- \frac{1 + \sqrt{2}}{2} < x < - \frac{1 - \sqrt{2}}{2}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 7.2.1

区間 $- \frac{1 + \sqrt{2}}{2} < x < - \frac{1 - \sqrt{2}}{2}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 7.2.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$4 {(0)}^{2} + 4 (0) - 1 > 0$

ステップ 7.2.3

左辺 $- 1$ は右辺 $0$ より大きくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 7.3

区間 $x > - \frac{1 - \sqrt{2}}{2}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 7.3.1

区間 $x > - \frac{1 - \sqrt{2}}{2}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 3$

ステップ 7.3.2

$x$ を元の不等式の $3$ で置き換えます。

$4 {(3)}^{2} + 4 (3) - 1 > 0$

ステップ 7.3.3

左辺 $47$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 7.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - \frac{1 + \sqrt{2}}{2}$ 真

$- \frac{1 + \sqrt{2}}{2} < x < - \frac{1 - \sqrt{2}}{2}$ 偽

$x > - \frac{1 - \sqrt{2}}{2}$ 真

$x < - \frac{1 + \sqrt{2}}{2}$ 真

$- \frac{1 + \sqrt{2}}{2} < x < - \frac{1 - \sqrt{2}}{2}$ 偽

$x > - \frac{1 - \sqrt{2}}{2}$ 真

ステップ 8

解はすべての真の区間からなります。

$x < - \frac{1 + \sqrt{2}}{2}$ または $x > - \frac{1 - \sqrt{2}}{2}$

ステップ 9

結果は複数の形で表すことができます。

不等式形：

$x < - \frac{1 + \sqrt{2}}{2} or x > - \frac{1 - \sqrt{2}}{2}$

区間記号：

$(- \infty, - \frac{1 + \sqrt{2}}{2}) \cup (- \frac{1 - \sqrt{2}}{2}, \infty)$

ステップ 10

有限数学 例

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